양자 시스템 시간 진화와 확률 과정의 통합적 접근

본 연구는 비자기수반(비헐미션) 2차 미분 연산자 ˆL₀에 대한 시간 진화 문제를 경로 적분과 확률 미분 방정식(SDE) 사이의 깊은 연관성을 통해 해결하고자 한다. 첫 단계에서는 연산자 ˆL₀를 ˆL₀ = ½ ∑_{i,j} g_{ij}(x) ∂²/∂x_i∂x_j + ∑_j b_j(x) ∂/∂x_j 의 형태로 정의하고, 이 연산자의 비자기수반성 때문에 두 개의 동등한 PDE, 즉 포커‑플랑크 방정식(전방향)과 콜모고로프 후진 방정식(역방향)을 도출한다. 비자기수반 연산자를 직접 다루기 어려운 점을 해결하기 위해 좌표 변환 y_i = (σ⁻¹)_{ij}(x) x_j 를 도입한다. 여기서 σ(x)는 확산 행렬 g(x)=σ(x)σᵀ(x)의 제곱근이며, 변환 후에는 확산 행렬이 항등 행렬이 되고, 새로운 드리프트 ˜b(y) 가 ˜b(y)=σ⁻¹(y) b(y) – ½ (∇_y σᵀ(y))ᵀ·σ⁻¹(y) 와 같이 명시된다. 이 변환은 라멥트 변환의 일반화이며, 연산자를 ˆL = ½ ∑_j ∂²/∂y_j² + ∑_j ˜b_j(y) ∂/∂y_j + u(y) 의 형태로 단순화한다. 다음으로 시간 이산화와 위너 과정 w_n을 이용해 경로 적분을 전개한다. 이산 시간 스텝 δ와 N개의 시간 구간을 두고, 각 구간마다 단위 연산자를 삽입하고, 가우시안 적분을 수행한다. 핵심 가정은 Δy_n – δ ˜b_n(y) = Δw_n, 즉, 이산 변화량이 드리프트와 위너 증분의 차이와 일치한다는 것이다. 이 가정은 연속적인 SDE와 이산 스킴을 동일시하게 하며, 결과적으로 측도 dM는 dM = lim_{δ→0,N→∞} (2πδ)^{-NM/2} exp