리만 제타 실수부 부호와 그 각도 분포에 관한 새로운 접근

초록

본 논문은 실수부가 ½보다 큰 고정선 σ>½ 위에서 ζ(σ+it)의 위상 arg ζ와 실수부 Re ζ의 부호가 차지하는 비율을 연구한다. Bohr‑Jessen 이론을 이용해 위상의 특성함수 ψσ(x)를 명시적으로 구하고, 이를 통해 밀도 d(σ)와 d₋(σ) 를 ψσ에 대한 적분식으로 표현한다. 또한 수치 계산을 위한 실용적인 알고리즘을 제시하여 다양한 σ에 대해 정확한 값들을 얻는다.

상세 분석

이 연구는 리만 제타 함수 ζ(s)의 복소평면 상에서의 값 분포를 고전적인 Bohr‑Jessen 이론에 기반해 확장한다. Bohr와 Jessen은 1930년대에 ζ(s) 의 실수부와 허수부가 복소평면에서 “무작위”적으로 퍼진다는 개념을 확률론적 프레임워크로 정형화했으며, 특히 σ>½에서 ζ(s) 의 값이 복소평면 전체에 걸쳐 균등하게 퍼진다고 증명했다. 이러한 배경 하에 저자들은 σ>½ 고정선 위에서 arg ζ(σ+it)의 절대값이 π/2를 초과하는 구간의 비율 d(σ)와, 실수부가 음수가 되는 구간의 비율 d₋(σ)를 정의한다.

핵심은 ζ(s)의 로그를 무한 곱 형태인 Euler product 로 전개하고, 이를 실수와 허수 부분으로 분리해 확률변수들의 합으로 보는 것이다. 각 소수 p에 대해 독립적인 무작위 변수 Xₚ를 도입하고, log ζ(σ+it)≈∑ₚ p^{-σ} e^{it log p} 로 근사한다. 이때 Xₚ는 균등분포를 따르는 복소단위 원 위의 점으로 모델링되며, 전체 합은 중심극한정리와 유사한 방식으로 확률분포를 형성한다.

저자들은 이러한 모델을 이용해 arg ζ(σ+it) 의 특성함수 ψσ(x)=E