RBF FD 기반 2차원 비동질 음향 파동 전파 분석

초록

본 논문은 지구 내부의 복잡한 속도 구조를 모델링하기 위해, 메쉬가 필요 없는 강형 로컬 메쉬리스 방법인 Radial Basis Function‑Generated Finite Differences(RBF‑FD)를 이용한 2차원 시간 영역 음향 파동 전파 해법을 제시한다. 균질, 층상, 그리고 고이질성 Marmousi 모델을 포함한 다양한 테스트를 통해 RBF‑FD가 기존 유한 차분법(FDM) 대비 높은 대칭성, 적은 인공 반사, 그리고 비정형 노드 배치에 대한 유연성을 제공함을 확인하였다.

상세 분석

RBF‑FD는 전통적인 유한 차분법(FDM)과 달리 사전 정의된 격자 연결성을 요구하지 않으며, 노드 간 거리와 형태에 따라 가중치를 현장에서 계산한다. 논문에서는 Gaussian 형태의 RBF(σ_B=70 m)를 사용하고, 각 노드마다 가장 가까운 7개의 이웃을 스텁셀로 선정하여 가중치 행렬 A_φ를 구성한다. Gaussian RBF는 양정정(positive definite) 특성을 가지므로, 이웃 노드가 서로 구별되는 한 행렬은 비특이성을 보장한다. 가중치 계산은 사전 단계에서 수행되어 메모리에 저장되며, 시간 적분 단계에서는 단순한 내적 연산 O(n)으로 공간 미분을 근사한다.

시간 전진은 2차 중앙 차분식(Δt=9.8 × 10⁻⁵ s 등)으로 구현되었으며, 초기 조건은 전장 모두 0으로 설정하였다. 흡수 경계 조건(ABC)은 Cerjan 방식의 지수 감쇠 함수를 연속형으로 변형하여 비정형 노드 배치에도 적용 가능하도록 하였고, 지표면(z=0)에서는 물리적 반사를 허용하기 위해 Dirichlet 조건을 사용하였다. 소스는 Rick­er’s wavelet 형태로 정의하고, δ‑함수는 반경 ε=4 m의 원형 분포로 근사하였다.

수치 실험에서는 (1) 균질 매질(속도 3000 m/s, h≈1.1 m)에서 RBF‑FD와 FDM이 동일한 격자를 사용했을 때 압력 필드와 파동 대칭성에서 미세한 차이를 보였으며, RBF‑FD가 스텁셀의 대칭 배치 덕분에 회전 대칭성을 더 잘 유지함을 확인했다. (2) 두 층 매질에서는 속도 변화에 따라 노드 밀도를 가변적으로 배치했으며, RBF‑FD가 속도 급변 구간에서도 인공 파동 왜곡을 최소화하였다. (3) 고이질성 Marmousi 모델에서는 복잡한 지형과 급격한 속도 변동에도 불구하고, RBF‑FD가 안정적인 파동 전파와 정확한 지표면 시무그램을 생성하였다. 특히, 흡수 경계층의 연속형 감쇠 함수가 비정형 노드 배치에서도 효과적으로 스펙트럼 누수를 억제함을 실험적으로 입증하였다.

이와 같이 RBF‑FD는 (i) 노드 배치 자유도, (ii) 복잡한 경계와 비균질 매질에 대한 적응성, (iii) 사전 가중치 저장을 통한 연산 효율성이라는 세 가지 장점을 동시에 제공한다. 다만, 가중치 행렬을 각 노드마다 저장해야 하므로 메모리 요구량이 FDM보다 크게 증가하며, 스텁셀 크기와 RBF 형태·스케일 파라미터(σ_B)의 선택이 정확도와 안정성에 민감하게 작용한다는 점이 향후 연구 과제로 남는다.