Koopman 모드 분해를 이용한 비선형 시스템 참여인자 데이터‑드리븐 계산

초록

본 논문은 Koopman 모드 분해(KMD)와 확장 동적 모드 분해(EDMD)를 활용해 비선형 전력 시스템의 모드‑인‑스테이트 및 스테이트‑인‑모드 참여인자를 데이터 기반으로 추정하는 새로운 방법을 제시한다. 선형 참여인자 정의를 일반화하고, 초기 조건에 대한 확률적 가정을 통해 기존 방법보다 계산량을 크게 감소시키면서도 비선형 효과를 정확히 포착한다. 두 개의 사례(단순 비선형 시스템, 2구역 4발전기 시스템)를 통해 정확도와 실시간 적용 가능성을 검증한다.

상세 분석

본 연구는 비선형 동적 시스템의 모드 참여인자를 정의하고 계산하는 데 있어 기존 선형 기반 접근법의 한계를 극복하고자 한다. 먼저, 전통적인 선형 시스템에서의 참여인자(p₍ᵢⱼ₎ = vᵢⱼ uᵢⱼ)와 기여인자(σᵢⱼ = (vⱼᵀx₀) uᵢⱼ)를 재정의하고, 초기 상태의 불확실성을 확률적 평균으로 처리하는 Hashlamoun 등의 접근을 소개한다. 이러한 배경 위에 Koopman 연산자를 도입함으로써 비선형 시스템을 무한 차원의 선형 연산자로 변환한다. 특히, 점 스펙트럼(고유값 µⱼ)과 고유함수(ϕⱼ)를 이용해 관측값 g(xₖ)를 ϕⱼ와 Koopman 모드 φⱼ의 선형 결합으로 표현한다(식 17).

데이터 기반 구현을 위해 확장 동적 모드 분해(EDMD)를 적용한다. 스냅샷 행렬 X, X′와 관측 함수 γ(x) 를 이용해 유한 차원의 근사 Koopman 연산자 K = ΓX′ ΓX† 를 구하고, 그 고유값·고유벡터로부터 고유함수와 모드를 추정한다(식 20‑24). 이때 관측 함수는 원 상태뿐 아니라 비선형 변환(예: x₂²)까지 포함할 수 있어 비선형 효과를 완전하게 포착한다.

핵심은 정의 6과 7에서 제시된 비선형 참여인자 식이다. 모드‑인‑스테이트 참여인자는 pᵢⱼ = ξᵢⱼ φᵢⱼ + Σ_{r≠i} ξᵣⱼ φᵢⱼ E