변분 진화법을 통한 최적 제어 계산의 간결한 접근

본 논문은 최적 제어 문제(OCP)를 해결하기 위한 새로운 수치 해법인 ‘컴팩트 변분 진화법(Compact VEM)’을 제안한다. 기존 변분 진화법은 라이아푸노프 연속시간 안정성 이론을 차용해 최적 해를 시스템의 안정 평형점으로 보는 아이디어를 기반으로 했지만, 코스테이트를 포함한 확장된 변수 공간을 사용함으로써 계산 복잡도가 크게 증가하는 문제가 있었다. 이를 극복하고자 저자들은 원시 변수(상태 x와 제어 u)만을 이용해 최적성을 기술하는 비용함수 기반 라이아푸노프 함수를 정의하고, 가상의 ‘변분 시간(τ)’을 도입해 변수들이 τ에 따라 점진적으로 최적해에 수렴하도록 하는 편미분 방정식(E PDE)을 유도한다. 논문은 먼저 무한 차원 라이아푸노프 이론을 정리한다. 상태 x와 제어 u가 정의된 함수 공간을 무한 차원 동적 시스템으로 보고, 라이아푸노프 함수 V(x) > 0이 τ에 대해 감소하면 시스템은 안정 평형점에 수렴한다는 Lemma 2.1을 제시한다. 여기서 V는 실제 최적화 목표인 비용함수 J와 동일하게 설정한다. 다음으로, 볼자형 성능 지표 J = ∫₀^{t_f} L(x,u,t) dt + φ(x(t_f),t_f) 를 고려한다. 기존 변분법과 달리, 코스테이트를 도입하지 않고 J를 τ에 대해 미분한다. 이때 상태와 제어 변분 δx/δτ, δu/δτ는 동역학 제약 ẋ = f(x,u,t)와 연계되어 선형 관계 δẋ/δτ = f_x δx/δτ + f_u δu/δτ를 만족한다. Lemma 3.1을 이용해 이 선형 시스템의 임펄스 응답 H(t,s)를 구하고, 이를 J의 τ‑미분식에 대입하면 다음과 같은 형태가 얻어진다. δJ/δτ = ∫₀^{t_f}