불규칙 셀 구조를 위한 셀룰러 푸리에 변환

초록

본 논문은 기하학적으로 불규칙한 셀(세포) 구조를 가진 물질에서 공간 필드의 스펙트럼 분석을 수행하기 위해, 기존 FFT와 그래프 푸리에 변환(GFT)이 갖는 한계를 지적하고, 셀의 형상·연결성을 그대로 반영한 새로운 이산 라플라시안 기반 연산자를 도입한 셀룰러 푸리에 변환(CFT)을 제안한다. CFT는 셀 수준에서 정의된 이산 신호와 연속적인 매끄러운 신호 모두에 적용 가능하며, 평면 파와 백색 잡음 등 이론적 기대 스펙트럼을 정확히 재현한다.

상세 분석

이 연구는 먼저 전통적인 FFT와 GFT가 불규칙 셀 구조에 적용될 때 발생하는 두 가지 근본적인 문제를 실험적으로 보여준다. FFT는 셀의 비정형 배치를 격자화하면서 발생하는 윈도잉 효과와 저주파 필터링 현상으로 인해 파수(q) 증가 시 스펙트럼 진폭이 비정상적으로 감소한다. GFT는 셀 중심 간 거리 기반 가중치를 사용하지만, 셀의 실제 형태·면적·경계 정보를 충분히 반영하지 못해 고유값과 파수 사이의 명확한 대응 관계를 정의하기 어렵고, 백색 잡음의 스펙트럼이 기대와 달리 감소 추세를 보인다.

이에 저자들은 셀 자체를 기본 단위로 하는 이산 라플라시안 연산자를 설계한다. 먼저 연속 신호 f를 각 셀 ω_i에 대해 평균값으로 정의한 셀룰러 신호 f_C를 도입하고, 이를 정규화된 기저 ψ_i( x )=1/√μ_i (x∈ω_i) 로 표현한다. 이 기저는 셀 면적 μ_i 를 고려해 직교성을 보장한다. 이후, 무한 유클리드 공간에서 평면 파가 라플라시안의 고유함수임을 이용해, 거리 커널 K(r) (예: 가우시안)으로 정의된 비국소 라플라시안 연산자 L̂