5차원 톤넷으로 보는 미스틱‑워즈젝 헥사코드의 파싱

이 논문은 전통적인 Tonnetz(톤넷) 모델을 5차원으로 확장하여, 전체음계(whole‑tone scale)에서 파생되는 ‘미스틱‑워즈젝’ 장르의 6음 헥사코드 간 파싱 보이스리딩을 기하학적으로 설명한다. 서론에서는 2차원 톤넷이 장조·단조 삼화음, 3차원 톤넷이 도미넌트·하프디미니시드 7화음을 다루는 배경을 제시하고, 6음 헥사코드가 이러한 구조의 남은 부분임을 밝힌다. Ⅰ. 좌표 공간 구축에서는 5개의 축 ˆq₁…ˆq₅를 정의하고, 각 축 사이의 내적을 ½(60°)로 설정한다. 이를 통해 축들을 직교 기저 ˆe_i와 연결하는 변환 행렬 U를 도출하고, 모든 격자점은 정수 조합 iˆq₁ + jˆq₂ + kˆq₃ + ℓˆq₄ + mˆq₅ 로 표현된다. ϕ 함수를 통해 격자점에 피치 클래스를 할당하는데, ϕ(i,j,k,ℓ,m)=mod₁₂(4i+8j+10k+ℓ+6m) 로 정의한다. 이 식은 각 축을 따라 이동할 때 12음계가 순환하도록 설계되었으며, 예시로 ˆq₁ 축을 따라 C‑E‑G♯‑…가 나타난다. Ⅱ. 헥사코드 정의에서는 워즈젝(+) 코드를 ‘하향 전위’로, 미스틱(−) 코드를 ‘상향 전위’로 구분한다. 워즈젝 코드는 (i,j,k,ℓ,m)에서 각 좌표를 하나씩 증가시킨 6개의 정점으로 구성되며, 이는 5‑심플렉스(5‑단순체)의 (+) 방향을 의미한다. 반대로 미스틱 코드는 (i+1, j, k, ℓ, m) 등으로 구성된 6개의 정점으로, (−) 방향의 5‑심플렉스를 만든다. 두 코드는 전위 관계에 있어 서로 반대 방향을 차지한다. Ⅲ. ‘Duality’ 섹션에서는 삼화음·7화음에서 관찰되는 ‘위‑아래’ 대칭이 헥사코드에서도 동일하게 적용됨을 수학적으로 증명한다. 즉, 한 형태는 다른 형태의 전위이며, 부호가 반대인 심플렉스로 표현된다. Ⅳ. 이웃 관계 분석에서는 Neo‑Riemannian 변환을 5‑차원 톤넷에 매핑한다. 기존 R, P, L, S, N 변환이 2차원에서 가장자리·꼭짓점 이웃을 만든 것처럼, 5‑차원에서는 15개의 가장자리와 6개의 꼭짓점 이웃이 각각 하나의 변환에 대응한다. 표 1은 C⁺(워즈젝) 코드를 기준으로 각 변환이 어떤 코드를 생성하는지 상세히 보여준다. 특히, ‘폴라 관계 H’는 공통 음이 없으므로 이웃으로 간주되지 않는다. Ⅴ. 시각화 부분에서는 5‑차원 전체를 직접 그릴 수 없으므로, 7개의 orthographic projection(그림 1‑7)을 제공한다. 각 그림은 C⁺를 중심으로 가장자리 공유(Edge‑sharing)와 꼭짓점 공유(Corner‑sharing) 이웃을 2차원 평면에 투영한다. 선의 길이는 투영에 따라 달라지지만, 실제 5‑차원 거리에서는 모두 단위 거리이다. Ⅵ. 한계와 향후 과제에서는 5‑차원 구조가 시각적으로 구분하기 어렵다는 점을 지적한다. 투영된 그림에서는 미스틱과 워즈젝 코드를 형태상 동일하게 보이므로, 실제 코드를 구분하려면 정점의 피치 클래스를 직접 확인해야 한다. 또한, 현재는 정수 격자와 선형 변환에 기반한 모델이므로, 비정수 음정이나 비표준 조율 체계에 대한 확장은 추가 연구가 필요하다. 결론에서는 5‑차원 톤넷이 미스틱‑워즈젝 장르의 파싱 보이스리딩을 완전하게 설명함을 강조하고, 기존 2·3차원 톤넷이 다루지 못했던 n=6 음집합을 기하학적으로 통합하는 중요한 단계임을 주장한다. 향후 연구에서는 이 모델을 실제 음악 분석에 적용하고, 변환군의 대수적 구조를 더 깊이 탐구할 것을 제안한다.