확률적 수렴과 안정성을 갖는 랜덤 매퍼 그래프

본 연구는 위상공간 X 와 연속 함수 f: X → ℝ 이라는 기본 설정에서 시작한다. 전통적인 매퍼 그래프는 f 의 이미지에 대한 유한한 열린 커버 U 를 선택하고, 각 커버 원소 U_α 에 대해 f⁻¹(U_α) 의 연결 성분을 취해 그들의 신경(Nerve)을 구성함으로써 정의된다. 그러나 이 전통적 정의는 커버 선택에 크게 의존하고, 샘플링된 데이터에 적용할 때 정보 손실이 발생한다는 한계가 있다. 논문은 이러한 한계를 극복하기 위해 두 가지 주요 전략을 제시한다. 첫째, 매퍼와 Reeb 그래프를 코시프 이론을 통해 범주화한다. 구체적으로, f 에 대한 “Reeb 코시프” R_f와 “매퍼 코시프” M_f를 정의하고, 각각의 디스플레이 로컬(display locale)을 취하면 Reeb 그래프와 매퍼 그래프(또는 그 변형)를 얻는다. 이때 코시프는 ℝ‑공간 위에서 구성가능(constructible)하도록 제한되며, 인터리빙 거리(interleaving distance)를 코시프 사이의 메트릭으로 채택한다. 둘째, 기존 매퍼 그래프의 1‑차원 스켈레톤을 확장한 “향상된 매퍼 그래프”를 도입한다. 이는 각 커버 원소에 대응하는 닫힌 구간을 이산적으로 합친 뒤, 적절한 동등 관계를 부여해 얻는 CW 복합체이며, 0‑셀에 가중치를 부여함으로써 원래 매퍼가 놓친 기하학적 정보를 보존한다. 이 구조는 코시프의 디스플레이 로컬과 동형이며, 따라서 코시프‑관점의 안정성 및 수렴 결과를 직접 그래프 수준에 전이할 수 있다. 수학적 결과는 크게 세 부분으로 나뉜다. (1) **수렴**: 정리 2.27은 Reeb 코시프와 매퍼 코시프 사이의 인터리빙 거리가 커버 해상도 res U 에 의해 상한이 잡힌다는 것을 보인다. (2) **안정성**: 정리 4.4는 함수 f 와 커버 U 가 작은 변동을 겪을 때, 코시프의 인터리빙 거리가 동일한 차수로 변하지 않음을 증명한다. 이는 매퍼 그래프가 함수의 임계값 근처에서 커버가 적절히 정렬될 경우 로컬 안정성을 갖는다는 의미다. (3) **확률적 복원**: 확률밀도 p 가 f 에 집중된다고 가정하고, p 의 초수준 집합에 대해 매퍼를 구성한다. 커널 밀도 추정과 고밀도 샘플링 이론을 이용해, 충분히 큰 샘플 n 에 대해 매퍼 코시프를 고확률로 복원한다(정리 3.10). 이 복원된 코시프와 원래 Reeb 코시프 사이의 인터리빙 거리는 res U 와 n⁻¹ᐟᵈ (차원 d) 정도로 제한된다. 결과적으로, Corollary 4.3은 “샘플 수 n →∞ 이면, 향상된 매퍼 그래프와 Reeb 그래프 사이의 Reeb 거리 ≤ res U ”임을 보이며, 이는 커버 해상도가 충분히 작고 샘플이 충분히 많을 때 매퍼 그래프가 Reeb 그래프를 거의 정확히 근사한다는 강력한 확률적 수렴을 의미한다. 또한, 논문은 기존 연구와의 관계를 상세히 논의한다. Carrière와 Oudot의 Bottleneck 거리 기반 안정성 결과와 비교해 코시프‑인터리빙 거리 접근법이 보다 일반적인 위상공간에 적용 가능함을 강조한다. Bubenik‑Wang의 코시프‑기반 Reeb 그래프 이론을 확장해 매퍼 그래프에도 적용했으며, Bobrowski‑Kahle‑Wasserman의 랜덤 복합체 수렴 기법을 차용해 확률적 복원을 수행했다. 마지막으로, 실험적 시각화(그림 1)를 통해 향상된 매퍼 그래프가 기존 매퍼 그래프보다 더 풍부한 기하학적 정보를 담고 있음을 보여준다. 전체적으로 이 논문은 매퍼 그래프를 코시프와 범주론적 틀 안으로 끌어들여, 확률적 샘플링 상황에서도 Reeb 그래프에 대한 일관된 추정기를 제공함으로써, 이론적 토대와 실용적 응용 모두에 중요한 기여를 한다.