희소 정적 피드백을 이용한 최소 이득 극점 배치

본 연구는 정적 상태 피드백을 이용한 선형 시불변(LTI) 시스템에서 최소 이득 극점 배치(MGEAP) 문제에 희소성 제약을 도입한 새로운 이론적·알고리즘적 프레임워크를 제공한다. 먼저, 시스템 \( \dot x = Ax + Bu,\; u = Fx \) 에 대해 피드백 행렬 \(F\) 에 0‑1 마스크 \(\bar F\) 를 적용해 특정 원소를 0으로 고정하는 희소 패턴을 정의한다. 목표는 주어진 고유값 집합 \(S=\{\lambda_i\}\) 을 정확히 달성하면서 \( \|F\|_F \) (프루프리우스 노름)를 최소화하는 \(F\)와 고유벡터 행렬 \(X\)를 찾는 것이다. 문제는 등식 제약 최적화 형태로 정식화된다. 제약식 \( (A+BF)X = X\Lambda \) 은 고유값 할당을, \( \bar F_c\circ F = 0 \) 은 희소성을 각각 나타낸다. 이때 \(\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) 이며, \(X\) 는 비특이 행렬이다. 제약식은 비선형이므로 전역 최적을 보장할 수 없으며, 다수의 지역 최소점이 존재한다는 점을 명시한다. 라그랑지안 이론을 적용해 1차 최적조건을 도출한다. 제약식의 야코비안을 벡터화하고 Kronecker 합을 이용해 명시적으로 표현함으로써 정규성(전순위) 조건을 확인한다. 이를 바탕으로 라그랑지 승수와 고유벡터 행렬을 동시에 만족하는 해의 구조를 분석한다. 특히, 비희소 MGEAP의 해가 고유벡터 공간에서의 정규 직교 투사와 동일한 기하학적 의미를 갖는다는 점을 밝혀, 희소 제약이 없는 경우의 해석을 확장한다. 희소성 제약을 직접 다루기 위해 두 가지 휴리스틱 알고리즘을 제안한다. 첫 번째는 선형 부분공간에 대한 반복 투사 방법으로, 현재 피드백을 제약식에 맞게 선형 시스템을 풀어 얻은 뒤, 희소 패턴에 맞게 0‑투사를 수행한다. 두 번째는 Sylvester 방정식 \(AX + BF X = X\Lambda\) 을 파라미터화해 비희소 최적 피드백 \(F_{\text{dense}}\) 를 구하고, Hadamard 곱을 이용해 \(\bar F\) 패턴에 맞게 요소별 0‑투사를 적용한다. 이 투사 연산은 효율적인 행렬 연산으로 구현 가능하며, 희소 EAP(극점 배치) 문제를 해결하는 새로운 방법을 제공한다. 이러한 투사 연산을 기반으로 투사 경사 하강법을 설계한다. 목표 함수의 그라디언트는 단순히 \(F\) 이므로, 각 반복에서 (i) 라그랑지안 기반 업데이트로 비희소 방향을 계산하고, (ii) 위의 투사 연산으로 희소 패턴을 강제한다. 투사 연산이 비확장성임을 이용해 대부분의 경우 수렴을 보장한다. 또한, 완전한 희소성을 강제하기 어려운 경우를 대비해 \( \|\bar F_c\circ F\|_1\) 에 가중치 \(\mu\) 를 추가한 페널티 기반 완화 모델을 제시하고, 이를 통해 근사 희소 해를 효율적으로 얻는다. 수치 실험에서는 무작위 생성된 10~30개의 시스템에 대해 제안 알고리즘을 비교하였다. 결과는 (1) 투사 기반 알고리즘이 초기값에 덜 민감하고, (2) 목표 이득을 크게 감소시키면서도 희소 패턴을 정확히 만족한다는 점을 보여준다. 특히, 비희소 최적해에 비해 평균 20 % 정도의 이득 감소를 달성하면서도 95 % 이상의 희소 제약 충족률을 기록하였다. 또한, 페널티 기반 완화 모델은 희소성 요구가 강력하지 않은 상황에서 빠른 수렴과 좋은 근사 해를 제공한다. 마지막으로, 희소 EAP의 복잡도 분석을 통해 이 문제가 일반적으로 NP‑hard임을 확인하고, 필요한 충분조건을 제시한다. 그러나 본 논문은 이러한 복잡도 한계에도 불구하고, 실제 설계 단계에서 활용 가능한 실용적인 알고리즘을 제공한다는 점에서 의의가 크다.