대규모 선형 시스템의 불확실 입력을 위한 Krylov 부분공간 기반 도달 가능성 분석

본 논문은 대규모 선형 동역학 시스템에 대해 시간에 따라 변하는 불확실 입력을 포함한 도달 가능 집합을 효율적으로 계산하는 새로운 방법을 제안한다. 기존 연구에서는 Krylov 부분공간을 이용해 행렬 지수 연산을 근사했지만, 입력이 (piecewise) constant일 때만 적용 가능하다는 제한이 있었다. 저자는 이 제한을 넘어, 임의의 구간 제한 입력을 다루는 기법을 개발함으로써 실제 시스템에서 흔히 발생하는 센서 노이즈·외란을 정형적으로 고려할 수 있게 하였다. 논문은 먼저 선형 시스템 \(\dot{x}=Ax+Bu\) 의 도달 가능성 문제를 정의하고, 이를 동차 해와 특수 해로 분리한다. 동차 해 \(R_h(t)\) 는 초기 상태 집합 \(X_0\) 에 대한 행렬 지수 \(e^{At}\) 적용으로 얻어지며, 특수 해 \(R_p(t)\) 는 입력 집합 \(\mathcal{U}\) 에 대한 컨볼루션 형태로 표현된다. 두 해 모두 행렬 지수 연산이 핵심이지만, 직접 계산은 차원이 커질수록 계산량이 급증한다. 이를 해결하기 위해 저자는 Krylov 부분공간 \(K_\xi = \text{span}\{v, Av, \dots, A^{\xi-1}v\}\) 을 구성하고, Arnoldi 알고리즘을 통해 정규 직교 기저 \(V\)와 Hessenberg 행렬 \(H\)를 얻는다. 이때 \(v\) 는 초기 상태 혹은 입력에 해당하는 벡터이며, \(\xi\) 는 사용자가 설정하는 차원으로 보통 수십 정도로 제한한다. Arnoldi 반복은 \(O(\xi n^2)\) 의 복잡도를 가지며, \(\xi\)가 작을수록 연산이 가벼워진다. 행렬 지수 근사는 \(e^{At}v \approx \|v\| V e^{Ht} e_1\) 으로 표현되며, 여기서 \(e_1\) 은 첫 번째 표준 기저벡터이다. 논문은 기존의 a‑priori 오류 한계 외에도,