무작위 보상 게임에서 균형 효율성의 한계

초록

본 논문은 플레이어 수가 무한대로 증가할 때, 두 전략을 갖는 정상형 게임에서 무작위(payoff) 분포 F에 따라 순수 내시균형(PNE)의 평균 사회 효용(ASU)이 어떻게 수렴하는지를 분석한다. 연속 분포에서는 PNE 수가 포아송(1)으로 수렴하고, 원자(점) 존재 시 PNE 수가 지수적으로 늘어나지만 대부분의 균형은 동일한 ASU를 공유한다. 최적 사회 효용, 최선·최악 PNE의 ASU는 각각 결정론적 한계값으로 수렴한다.

상세 분석

논문은 n명의 플레이어와 각자 두 가지 전략을 갖는 정상형 게임을 고려한다. 모든 전략 프로필에 대한 보상 u_i(s) 는 동일한 분포 F 를 따르는 i.i.d. 랜덤 변수이며, F 가 연속이면 동일값(점)이 발생할 확률 α=0, 원자가 있으면 α>0 이다. 평균 사회 효용(ASU)은 각 프로필 s 에 대해 1/n Σ_i u_i(s) 로 정의된다. 먼저 사회 최적값 SO는 2^n 개의 독립 ASU 중 최대값이므로, 대수적 대수법과 Cramér의 대편차 정리를 이용해 I(x)=sup_t{xt−log φ(t)} 라는 레이트 함수를 정의한다. I(x) > log 2 인 최소 x 를 x_opt 라 하면, SO는 확률적으로 x_opt 로 수렴한다. 이는 α 의 존재 여부와 무관하게 성립한다.

순수 내시균형의 존재와 수는 α 에 따라 크게 달라진다. α=0 일 때, Rinott‑Scarsini(2000)의 결과에 따라 |NE| 은 포아송(1) 분포로 수렴한다. 따라서 균형이 존재한다면 그 수는 유한하고, 첫 번째 순간 분석을 통해 모든 균형이 동일한 ASU 값을 갖는다는 것을 보인다. 이때의 전형적인 ASU 값은 e_F 라는 수정된 분포의 평균 x_typ = E_{Y∼e_F}