클리크 함수의 비단조 회로 복잡도와 P≠NP에 대한 오류 논증

초록

본 논문은 클리크 문제의 회로에서 모든 NOT 게이트를 상수 1로 대체하면 비단조 회로의 복잡도가 단조 회로와 동일하거나 더 높아진다고 주장한다. 이를 근거로 클리크 함수의 비단조 회로 하한이 초다항식이며, 따라서 P≠NP가 증명된다고 결론짓는다. 그러나 NOT 게이트를 상수 1로 교체하는 과정이 함수의 의미를 보존하지 않으며, 단조 하한을 비단조 하한으로 직접 이전하는 논리는 기존 복잡도 이론과 상충한다. 따라서 논문의 핵심 증명은 근본적인 논리적 결함을 포함한다.

상세 분석

논문은 먼저 단조 회로에 대한 Razborov의 근사법을 인용하여 클리크 함수의 단조 회로 복잡도가 초지수적이라는 기존 결과를 전제한다. 이어서 “각 NOT 게이트를 상수 1로 교체한다”는 변환을 제시하고, 이 변환이 원래 비단조 회로와 동등한 계산 능력을 유지한다고 주장한다. 그러나 NOT 게이트는 입력 신호를 반전시켜 논리적 정보를 제공하는 핵심 연산이며, 이를 무조건 1로 대체하면 해당 회로는 원래 함수와 전혀 다른 출력 값을 산출한다. 즉, 변환 후 회로는 클리크 문제를 정확히 해결하지 못한다는 것이 가장 명백한 반증이다.

또한 논문은 “비단조 회로는 단조 회로보다 복잡도가 같거나 크다”는 일반적 명제를 증명 없이 받아들인다. 실제로 비단조 회로는 NOT 게이트를 활용함으로써 단조 회로보다 훨씬 효율적인 구현이 가능하다는 것이 알려진 사실이다. 예를 들어, 단순한 부울 함수인 XOR는 비단조 회로에서는 2개의 게이트로 구현되지만, 단조 회로에서는 지수적인 크기의 회로가 필요하다. 따라서 단조 하한을 비단조 하한으로 바로 이전하는 것은 논리적 비약이다.

논문이 제시한 “상수 1 교체”는 사실상 회로의 입력을 제한된 형태로 고정시키는 것이며, 이는 클리크 함수의 정의역 전체에 대한 계산을 포기하는 행위와 동일하다. 복잡도 이론에서 하한을 증명하려면 모든 입력에 대해 올바른 출력을 보장하는 회로를 고려해야 하는데, 저자는 이러한 조건을 무시하고 변환 후 회로가 원 함수와 동등하다고 가정한다.

더 나아가, 현재까지 알려진 바에 따르면 NP에 속하는 함수에 대한 비단조 회로의 초다항식 하한을 증명하는 것은 P vs NP 문제와 동치이며, 이는 수십 년간 수많은 연구자들이 시도했음에도 불구하고 성공하지 못한 난제이다. 논문의 결론이 사실이라면 이는 컴퓨터 과학의 기본적인 정리에 큰 변화를 가져와야 함에도 불구하고, 논문 자체에 검증 가능한 형식적 증명이나 피어 리뷰된 결과가 전혀 제시되지 않는다.

요약하면, 논문의 핵심 변환은 함수 동등성을 위배하고, 단조와 비단조 회로 복잡도 사이의 관계에 대한 근거 없는 가정을 포함한다. 이러한 논리적 결함은 클리크 함수의 비단조 회로 하한을 초다항식이라고 주장하는 결론을 무효화한다. 따라서 논문이 제시한 P≠NP 증명은 현재의 복잡도 이론과 일치하지 않으며, 신뢰할 수 있는 증명으로 받아들여질 수 없다.