완전 단순 게임의 차원과 부울 차원의 급격한 성장

초록

본 논문은 두 종류의 유권자만을 갖는 완전 단순 게임에서도 차원이 투표자 수에 대해 지수적으로 커질 수 있음을 증명하고, 일반 완전 단순 게임의 부울 차원도 투표자 수에 대해 지수적 상한을 가질 수 있음을 보인다. 또한 차원 표현에 대한 가중치 제한 가능성 및 상한·하한 결과들을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 완전 단순 게임의 차원(dimension)이 기존 연구에서 투표자 수에 대해 지수적으로 증가할 수 있음을 확인한 뒤, 그 구성요소인 ‘유권자 유형(type)’의 수를 제한한다. 저자는 두 종류(type)만을 갖는 완전 단순 게임을 설계하여, 그 차원이 여전히 2^{Ω(n)} 수준으로 급격히 증가함을 보인다. 이는 모든 유권자가 동일 유형이면 가중 게임이 되므로 차원이 1이 되지만, 두 유형만으로도 복잡도가 급격히 상승한다는 중요한 사실이다.

다음으로 부울 차원(Boolean dimension)에 대한 열린 문제를 해결한다. 부울 차원은 가중 게임들의 논리적 결합(∧,∨)으로 원 게임을 표현하는 데 필요한 최소 가중 게임 수를 의미한다. 저자는 완전 단순 게임의 전체 집합이 2^{Θ(n)} 개 존재한다는 사실과, 가중 게임들의 부울 조합 수가 2^{O(sn^2 log(sn))} 로 제한된다는 기존 결과를 이용해, 부울 차원 역시 투표자 수에 대해 지수적으로 커질 수 있음을 증명한다.

또한, 차원 표현에서 한 등가 클래스의 모든 가중치를 동일하게 할 수 있는 방법(Lemma 3.1)을 제시하고, 모든 등가 클래스에 걸쳐 가중치 순서를 유지하는 것이 일반적으로 불가능함을 Proposition 3.2를 통해 부정한다. 이는 차원 최소화 과정에서 가중치 제약이 제한적임을 의미한다.

마지막으로, shift‑minimal winning vector의 개수 r와 유형 수 t에 대해 부울 차원의 상한을 r·t (Lemma 3.4) 로 제시하고, 이를 기반으로 완전 단순 게임을 r·t 개의 가중 게임으로 표현할 수 있음을 보인다. 이러한 결과들은 차원과 부울 차원의 구조적 특성을 명확히 파악하고, 복잡도 이론 및 투표 시스템 설계에 중요한 통찰을 제공한다.