고차원 비선형 PDE를 위한 딥 백워드 동적 프로그래밍

초록

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본 논문은 BSDE 기반의 고차원 비선형 편미분방정식(PDE) 해법을 제안한다. 시간역방향 동적 프로그래밍을 이용해 각 시간 단계마다 손실함수를 정의하고, 깊은 신경망으로 해와 그 기울기를 동시에 학습한다. 두 가지 변형(DBDP1, DBDP2)을 제시하고, 수렴 이론과 오류 추정치를 제공한다. 수치 실험에서 차원 50까지 안정적인 결과를 얻으며, 최적 정지 문제(미국 옵션)에도 적용 가능함을 보인다.

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상세 분석

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이 연구는 고차원 비선형 PDE를 푸는 기존 방법들의 한계를 정확히 짚어낸다. 전통적인 BSDE 기반 회귀 방법은 차원이 6~7을 넘어가면 기저함수 수가 급증해 실용성이 떨어지고, 최근의 Deep BSDE(Weinan et al., 2017)는 전역 손실함수를 최소화하는 방식이라 지역 최소에 빠지기 쉽다. 저자들은 이러한 문제점을 해결하기 위해 “백워드 동적 프로그래밍”(Backward Dynamic Programming, BDP) 아이디어를 도입한다. 핵심은 시간 격자를 뒤에서 앞으로 진행하면서, 각 단계마다 현재 시점의 해 u(t_i,·)와 그 기울기 σᵗ∇u(t_i,·)를 별도의 신경망으로 근사하고, 해당 단계의 손실 L_i를 최소화하는 것이다.

두 가지 스키마가 제안된다. DBDP1은 해와 기울기를 각각 독립적인 신경망 U_i와 Z_i로 직접 학습한다. 손실은
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