보유 시마의 P≠NP 증명 비판

초록

본 논문은 보유 시마가 제시한 “클리크 함수의 특정 성질을 이용한 P≠NP 증명”을 상세히 검토하고, 그의 핵심 논증인 비단조 회로를 단조 회로로 변환하는 과정에서 발생하는 논리적 오류와 부정 변수와 원 변수 사이의 관계를 무시한 점을 지적한다. 간단한 반례를 통해 시마의 변환이 실제로 클리크 함수를 올바르게 계산하지 못함을 보여준다.

상세 분석

시마는 표준 회로(입력 변수와 그 부정만을 포함)에서 모든 부정 변수를 “추출”한 뒤, ¬x_i 를 1 로 고정하면 회로의 크기가 크게 늘지 않으면서도 단조 회로가 된다고 주장한다. 이때 그는 ¬x_i ∧ TermA 형태의 항을 두 경우( TermA=0, TermA=1 )로 나누어 각각이 ¬x_i 의 값에 무관하게 전체 함수값이 변하지 않는다고 논증한다. 첫 번째 경우는 명백히 옳지만, 두 번째 경우는 클리크 함수의 단조성만을 근거로 하여 ¬x_i 를 1 로 바꾸어도 함수값이 유지된다고 단정한다. 실제로 ¬x_i 와 x_i 는 서로 보완 관계에 있기 때문에, ¬x_i 를 1 로 고정하면 x_i 가 0 으로 고정되는 상황이 발생한다. 클리크 함수는 그래프의 특정 간선이 존재하는지에 따라 값이 달라지므로, 해당 간선을 강제로 끊어버리면 기존에 존재하던 s‑클리크가 사라질 수 있다. 따라서 “TermA=1이면 전체 함수값이 1이다”라는 주장은 일반적으로 성립하지 않는다. 논문은 이를 보여주기 위해 ¬x_1 ∧ x_1 라는 모순 항을 포함한 회로를 구성하고, ¬x_1 을 1 로 바꾸면 회로가 x_1 ∨ … 형태가 되어, x_1=1 일 때만 1을 출력한다. 그러나 클리크 함수에서는 단 하나의 간선만 존재하는 그래프는 s≥3 인 클리크를 만들 수 없으므로, 변환된 회로는 원 함수와 동등하지 않다. 즉, 시마가 주장한 “부정 변수를 모두 1 로 교체해도 함수값이 보존된다”는 일반화는 부정 변수와 원 변수 사이의 상호 의존성을 무시한 잘못된 전제에 기반한다. 이러한 논리적 결함은 비단조 회로 복잡도와 단조 회로 복잡도 사이의 차이를 없애려는 시도 전체를 무너뜨린다. 더 나아가, 기존 연구(Alon‑Boppana, Amano‑Maruoka)에서 제시된 부정 게이트 제한 하의 초다항 하한 결과와도 일치하지 않으며, 시마의 증명이 실제로 P≠NP 를 증명하기 위해서는 비단조 회로에 대한 보다 정밀한 구조적 분석이 필요함을 보여준다.