데이터 기반 스위칭 선형 시스템 차원 추정 및 저차원 근사

초록

본 논문은 평균제곱 안정성을 갖는 스위칭 선형 시스템(SLS)의 차원(잠재 상태 차원)이 알려지지 않은 상황에서, 잡음이 섞인 입력‑출력 데이터를 이용해 시스템 파라미터와 저차원 근사 모델을 비공식적인 비선형 최적화 없이 추정하는 방법을 제시한다. 핵심은 OLS 기반으로 구성한 Hankel‑유사 행렬을 데이터 의존적인 차원 선택 규칙과 SVD를 통해 균형 절단(balanced truncation) 형태의 저차원 모델을 얻는 것이다.

상세 분석

이 논문은 스위칭 선형 시스템(SLS)의 식별 문제를 두 가지 난관—잠재 차원 n이 미지수이며, 스위치 시퀀스가 지수적으로 늘어나는 Hankel 행렬의 차원—에 동시에 접근한다. 저자는 먼저 관측된 입출력 데이터와 알려진 스위치 시퀀스를 이용해 OLS(ordinary least squares)로 각 스위치 조합에 대응하는 입력‑출력 블록을 추정하고, 이를 통해 ‘Hankel‑like’ 행렬 (\hat H(bN))를 구성한다. 기존 LTI 시스템에서는 Hankel 행렬 차원이 선형적으로 증가하지만, SLS에서는 스위치 수 s와 롤아웃 길이 N에 대해 차원이 (s^{N})로 급증한다. 따라서 차원 선택이 핵심이 된다.

논문은 데이터 의존적인 모델 차원 선택 규칙을 제안한다. 구체적으로, (|H(\infty)-\hat H(bN)|{F})를 두 부분, 즉 추정 오차와 차원 절단 오차의 합으로 분해하고, 각각을 N과 (\Delta_s) (스위치 수에 대한 상수)와 연관된 확률적 경계로 제어한다. 결과적으로 (|H(\infty)-\hat H(bN)|{F}\le \tilde O(N^{-\Delta_s/2}))가 성립해 샘플 수가 충분히 크면 일관적인 추정이 가능함을 보인다.

다음 단계는 (\hat H(bN))에 대한 특이값 분해(SVD)를 수행하고, 가장 큰 r개의 특이값에 대응하는 좌·우 특이벡터를 이용해 균형 절단(balanced truncation) 형태의 저차원 파라미터 ((\hat C(r),\hat A_i(r),\hat B(r)))를 얻는다. 여기서 중요한 점은 Weiden의 정리 변형을 이용해 추정된 파라미터와 실제 시스템의 r‑차원 균형 절단 모델 사이의 거리를 (\tilde O\big(\sqrt{\sigma_r},N^{-\Delta_s/2}\big))로 제한한다는 것이다. (\sigma_r)는 원래 Hankel 행렬의 r번째 특이값으로, 시스템의 에너지 분포를 반영한다.

이론적 결과는 다음과 같은 가정을 전제로 한다. (1) 프로세스 및 출력 잡음이 i.i.d. 서브가우시안이며, (2) 스위치 확률 (p_i)와 시스템 행렬 (A_i)가 평균제곱 안정성을 만족한다(즉, (\rho(\sum p_i A_i\otimes A_i)<1)). 또한 입력은 표준 정규분포를 따르는 독립적인 가우시안이며, 스위치 시퀀스는 외생적이고 관측 가능하다고 가정한다. 이러한 가정 하에, 저자는 샘플 복잡도와 롤아웃 길이 N이 충분히 크면, 차원 선택과 SVD 기반 절차가 고확률로 실제 시스템의 저차원 근사와 매우 가깝게 수렴함을 증명한다.

실험적 검증은 논문에 포함되지 않았지만, 제시된 비정형적 경계와 알고리즘 흐름은 기존 LTI 시스템 식별 방법을 SLS에 자연스럽게 확장한다는 점에서 의미가 크다. 특히, 차원 선택 규칙이 데이터에만 의존하고, 비선형 최적화 없이 OLS와 SVD만으로 구현 가능하다는 점은 실제 제어 및 강화학습 분야에서 실시간 시스템 식별에 적용 가능성을 높인다.