합리적 NURBS 전개가능 표면의 블라섬 기반 특성화

초록

본 논문은 경계 곡선의 블라섬과 세 개의 유리 함수 Λ, M, σ (또는 ν)를 이용해 유리(또는 NURBS) 전개가능 표면을 완전히 기술한다. 이 함수들을 통해 전개가능 조건, 접선 평면 일치, 그리고 회귀선(edge of regression)의 폐쇄식 표현을 도출하고, Λ, M, σ가 상수인 경우가 모든 유리 전개가능 표면을 생성함을 증명한다. 또한 결과를 NURBS 스플라인으로 자연스럽게 확장한다.

상세 분석

논문은 전개가능 표면을 “평면들의 일변량 가족의 외피(envelope)”라는 기하학적 시각에서 출발한다. 이 관점에서 전개가능성은 각 파라미터 λ 에 대해 두 평면 a(λ)·x+b(λ)=0 와 그 미분식 a′(λ)·x+b′(λ)=0 이 동시에 만족하는 점들의 집합으로 정의된다. 이러한 정의는 전개가능 표면이 직선(리깅)들을 포함하고, 각 리깅에 대해 접선 평면이 동일함을 즉시 보장한다.

전통적인 조건 (d(t)−c(t))·(c′(t)×d′(t))=0 은 두 경계 곡선 c(t), d(t) 의 미분벡터와 연결벡터가 공면(coplanar)임을 의미한다. 저자는 이를 블라섬(blossom)이라는 다중선형 형태로 변환한다. 블라섬은 베지에 곡선의 디카스텔라우 알고리즘 단계에서 얻어지는 점들을 다변수 함수 형태로 나타낸 것으로, pₙ₋₁⁰(t), pₙ₋₁¹(t), qₙ₋₁⁰(t), qₙ₋₁¹(t) 와 같이 4차원 동차 좌표(가중치 포함)로 표현된다.

핵심 정리는 다음과 같다. 존재하는 유리 함수 Λ(t), M(t), σ(t) 에 대해
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