다각형 구멍을 G¹ 연속으로 메우는 S‑패치 기법

초록

본 논문은 다면체 구멍을 G¹ 연속으로 메우기 위해, 임의 차수·변 수를 갖는 S‑패치를 자동으로 생성하는 알고리즘을 제시한다. 경계 패널을 선형 변환으로 배치하고, 내부 제어점을 조화·이조화 마스크를 이용해 해석적으로 배치함으로써 구현을 단순화한다.

상세 분석

S‑패치는 n각형 도메인 위에 일반화된 바리센트릭 좌표 λ를 사용해 정의되며, 차수 d인 경우 제어점 라벨 s=(s₁,…,sₙ)∈Lₙ,₍d₎는 sᵢ≥0, Σsᵢ=d 를 만족한다. 라벨 집합의 크기는 |Lₙ,₍d₎|=C(n+d‑1,d) 로, 변수가 늘어날수록 제어점 수가 급격히 증가한다는 점이 실용성을 저해해 왔다. 저자는 이 구조를 그대로 유지하면서도, 다변형 구멍을 G¹ 연속으로 메우는 구체적 절차를 제시한다.

먼저 경계 곡선은 동일 차수 d의 베지어 형태로 주어지고, 각 변마다 두 개의 제어 행(베지어 리브)이 존재한다. 이 리브는 Sabin net 형태로 서로 꼬임 제약(twist compatibility)을 만족한다. G¹ 연속을 확보하기 위해 각 변에 대해 d+3 차수의 S‑패치를 사용한다. 경계 패널은 도메인 정다각형의 선형 사상으로 정의되며, 각 패널은 d개의 제어점으로 구성된다. 저자는 식 (2)를 통해 Pᵢⱼ,ₙ을 기존 경계 제어점 Pᵢⱼ,₁에 대한 선형 보정으로 계산한다. 여기서 c=−cos(2π/n)이며, δ 함수는 차수에 따라 선택적으로 항을 활성화한다. 이 식은 모든 차수 d에 대해 일반화된 형태이며, 기존 연구가 2·3 차수에만 제한됐던 점을 확장한다.

경계 패널을 고정한 뒤 남는 내부 제어점은 조화(harmonic)와 이조화(biharmonic) 마스크를 적용해 자동 배치한다. 조화 마스크는 각 제어점이 인접 4점의 평균이 되도록 하는 라플라시안 방정식 Qᵢ₊₁,ⱼ+Qᵢ₋₁,ⱼ+Qᵢ,ⱼ₊₁+Qᵢ,ⱼ₋₁−4Qᵢ,ⱼ=0 을 만족한다. 이 방정식을 S‑패치의 인접 관계에 그대로 적용하면 내부 점들의 부드러운 분포를 얻을 수 있다. 경계에서 교차 미분이 고정된 경우, 보다 강한 평활성을 위해 조화 마스크를 두 번 적용한 이조화 마스크를 사용한다. 알고리즘 1은 이러한 마스크를 효율적으로 계산하는 절차를 제시한다.

예제에서는 5각형 5차(퀸틱) 구멍을 메우는 과정을 보여준다. 경계 리브는 40개의 제어점으로 구성되고, 차수 상승 후 전체 S‑패치는 495개의 제어점을 가진다. 생성된 표면은 등고선(isophote) 분석에서 높은 평활성을 보이며, 인접 표면과의 G¹ 연결도 시각적으로 확인된다.

본 연구의 핵심 기여는 (1) 임의 차수·변 수에 대한 일반적인 G¹ 경계 패널 식의 도출, (2) 내부 제어점을 마스크 기반으로 자동 배치하는 알고리즘 제시, (3) 구현 복잡성을 크게 낮추어 S‑패치를 실제 CAD 파이프라인에 적용 가능하도록 만든 점이다. 다만 마스크 선택이 표면 품질에 미치는 정량적 영향과 곡률 연속(C²)까지 확장하는 방법은 향후 연구 과제로 남는다.