수중 사루션에 의한 분산 파동 생성과 해저 곡률 효과

초록

본 논문은 수중 사루션(지반 미끄럼)으로 발생하는 파동을, 얕은 물 영역에서 파장 길이가 짧아 분산 효과가 중요한 경우에 초점 맞추어 연구한다. 변형된 퍼그린 방정식(m‑Peregrine)을 보존형 변수(H, Q)로 기술하고, 사루션의 중심 운동을 곡률을 포함한 해저 형상에 투영한 2차 미분 방정식으로 모델링한다. 수치 실험을 통해 사루션이 비대칭적인 해저 지형을 따라 이동하며 생성되는 파동의 전파와 해안 상승(run‑up)을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 얕은 물 파동 모델인 Boussinesq 계열 방정식에 비해 두드러진 두 가지 혁신을 제시한다. 첫째, 해저가 정적이라고 가정하는 기존 퍼그린 모델을 확장하여, 시간에 따라 변하는 해저 변위를 소스 항으로 포함시킨다. 이를 위해 전체 수심 H = d(x,t)+η(x,t)와 수평 질량 흐름 Q = H u를 보존형 변수로 재정의하고, 질량 보존식은 변함없이 유지하면서 운동량 방정식에 ½ H d̈x 항을 추가하였다. 이 항은 사루션에 의해 발생하는 바닥 상승·하강을 직접 반영한다. 또한, 변형된 퍼그린 시스템은 비선형 항만 차이가 있으므로, 선형 분산 관계는 원래 퍼그린 모델과 동일하게 유지된다. 이는 파동의 장거리 전파와 근해에서의 비선형 효과를 동시에 포착할 수 있게 한다.

둘째, 사루션 운동 모델링에서 해저 곡률 κ(x)와 접선·법선 방향을 명시적으로 고려한다. 사루션을 ‘준변형’ 고체로 가정하고, 질량 m = (ρℓ + c_w ρ_w) V와 부피 V를 정의한 뒤, 뉴턴 제2법칙을 곡선 좌표계(s, τ)로 투영한다. 중력·부력에 의한 수평 힘 F_g와 물 저항·마찰·원심력 등 여러 저항력을 포함한 총 힘 F_τ를 구하고, 이를

m d²s/dt² = F_τ

형태의 2차 미분 방정식(식 3.3)으로 정리한다. 특히, 법선 방향의 곡률 항 κ(x)·(ds/dt)²는 평탄한 바닥에서는 사라지지만, 비평탄한 해저에서는 사루션의 가속도에 중요한 기여를 한다. 저항력은 속도 제곱에 비례하는 형태와 마찰 계수 c_f·σ(t)·N(x,t) 형태로 포함되어, 사루션이 급격히 감속하거나 멈추는 현상을 재현한다.

수치 해법은 유한체적(FV) 방법을 기반으로, 보존형 변수는 고차 재구성(UNO2)과 3차 Bogacki‑Shampine Runge‑Kutta로 시간 적분한다. 분산 항은 중앙 차분으로 처리하고, 매 시간 단계마다 삼중 대각 행렬을 풀어 Q_t를 구한다. 사루션 운동 방정식 역시 동일한 3차 RK 스키마와 사다리꼴 적분으로 I₁, I₂, I₃ 적분을 계산한다.

시뮬레이션 설정은 x∈