점성 포텐셜 자유표면 흐름과 비국소 장파 모델

본 논문은 점성 효과를 포함한 자유표면 흐름을 포텐셜 형태로 기술하고, 이를 바탕으로 장파 모델을 유도·분석한다. 서론에서는 무점성 포텐셜 흐름 이론이 많은 파동 현상을 성공적으로 설명하지만, 실제 해양·수문학 상황에서는 점성에 의한 에너지 손실을 무시할 수 없음을 강조한다. 특히, 바닥 경계층에서 발생하는 마찰이 파동 감쇠에 큰 영향을 미치며, 이는 기존의 라무스·보수스키식 점성 감쇠 모델이 간과한 부분이다. 2절에서는 유체 영역을 내부 영역(Ri), 자유표면 경계층(Rf), 바닥 경계층(Rb)으로 구분하고, 각 영역에서 점성 항의 규모를 차등 평가한다. 내부 영역에서는 점성 항이 \(O(\mu)\) 수준으로 작지만, 바닥 경계층에서는 점성 항이 \(\mu^{1/2}\) 규모로 지배적임을 보인다. 따라서 모델링에서는 \(O(\mu^{3/2})\) 이하의 고차 항은 무시하고, 로컬 점성 항(\(O(\mu)\))과 비국소 항(\(O(\mu^{1/2})\))만을 보존한다. 3절에서는 3차원 Navier‑Stokes 방정식을 헬름홀츠‑라레 분해하여 포텐셜 \(\phi\)와 회전성 성분 \(\psi\)로 나눈 뒤, 각 성분이 만족해야 할 방정식을 도출한다. 자유표면에서는 전통적인 운동·동역학 경계조건에 점성 효과를 포함시키고, 바닥에서는 라플라스 변환을 이용해 비국소 시간 적분 형태의 경계조건을 얻는다. 이 경계조건은 \(\displaystyle \phi_z|_{z=-h}= -\sqrt{\frac{\nu}{\pi}}\int_0^t \frac{\phi_{zz}(\tau)}{\sqrt{t-\tau}}\,d\tau\) 로 표현되며, 이는 반정수 차수의 힐베르트 연산자와 동일한 효과를 가진다. 4절에서는 위에서 얻은 점성 포텐셜 방정식을 기반으로 Boussinesq 계열과 KdV‑형 방정식을 유도한다. 얕은 물 깊이와 긴 파장 가정 하에 수심‑파장 비 \(\delta = h/\lambda \ll 1\) 를 전개 변수로 사용하고, 비국소 항을 포함한 비선형 및 분산 항을 차례로 보존한다. 결과적으로 얻은 비국소 Boussinesq 방정식은 \