가우시안 과정의 평균값·전환점 비율 평면 분석과 활용

본 연구는 Gaussian 과정, 특히 분수 브라운 운동(fBm)과 분수 가우시안 잡음(fGn)의 특성을 두 개의 통계량인 평균값(A)과 전환점 비율(T)으로 요약하는 A‑T 평면을 체계적으로 분석한다. 먼저, 세 점의 순서 패턴을 이용해 전환점 비율 T를 정의하고, Gaussian 과정에 대해 p₁₂₃(d)=½π⁻¹arcsin ρ(d)·(1+ρ(d))⁻¹ 라는 일반식을 도출한다. 여기서 ρ(d) 는 연속 차분의 상관계수이며, 이를 fBm, fGn, 차분된 fGn(DfGn) 각각에 적용해 T를 Hurst 지수 H의 함수로 명시한다. fBm의 경우 T_fBm=1−2π⁻¹arcsin(2H−1) 로, H가 0에서 1로 증가함에 따라 전환점 비율이 2/3에서 0으로 감소한다. fGn과 DfGn에 대해서도 복잡한 식(6),(7)으로 T를 구한다. 다음으로 평균값 A를 정의한다. A는 연속 차분의 분산과 원 시계열의 분산의 비율로, A=½·Var(ΔX)/Var(X) 로 표현된다. fBm의 경우 ΔX가 fGn이므로, 먼저 Var(G_H^n) 를 정확히 계산한다. 저자는 Var(G_H^n)= (n−n^{2H−1})/(n−1) 라는 식을 도출하고, n→∞ 일 때 1 로 수렴함을 확인한다. fBm 자체의 분산 Var(B_H^n)은 기존 연구