루프 곱과 닫힌 지오데시

초록

우리는 리만 다양체의 자유 루프 공간에 정의된 차스-설리반 곱이 그 닫힌 지오데시의 모스 지수와 연관됨을 보인다. 또한 자유 루프 공간과 기반 루프 공간의 코호몰로지에 유도된 새로운 곱 구조들을 구성하고, 이들 곱이 자명하지 않음을 증명한다.

상세 요약

이 논문은 자유 루프 공간 (LM) 위에 정의되는 차스‑설리반(Chas‑Sullivan) 곱과 닫힌 지오데시의 모스 이론 사이의 깊은 연결 고리를 밝히는 데 중점을 둔다. 차스‑설리반 곱은 문자열 위상수학에서 등장한 연산으로, (H_{*}(LM)) 에 대수적 구조를 부여하여 고전적인 포인카레 대수와 유사한 구조를 만든다. 그러나 기존 연구에서는 이 곱이 기하학적 의미, 특히 닫힌 측지선의 안정성이나 지수와 어떤 관계가 있는지 명확히 규명되지 못했다.

저자들은 먼저 닫힌 지오데시 (\gamma) 의 모스 지수 (\operatorname{ind}(\gamma)) 를 고려한다. 모스 지수는 변분 문제에서 임계점의 불안정 차원을 나타내며, 지오데시가 최소화되는 경우 0, 불안정한 경우 양의 정수를 갖는다. 논문은 차스‑설리반 곱을 이용해 두 개의 닫힌 지오데시 (\gamma_{1},\gamma_{2}) 를 연결하는 연산을 정의하고, 이 연산이 생성하는 동치류가 해당 지오데시들의 모스 지수의 합과 직접적으로 연결됨을 증명한다. 구체적으로, 곱에 의해 얻어지는 새로운 고리 (