동전 던지기와 소수 마지막 자리의 무작위성, 대수에서만 유효함

이 논문은 “무작위성은 충분히 큰 수에서만 의미가 있다”는 가설을 검증하기 위해, 두 가지 전형적인 ‘동일하게 가능한 결과’ 사례—동전 던지기와 소수의 마지막 자리—를 비교 분석한다. 먼저, 저자들은 물리적 편향을 배제한 가상 동전 시뮬레이션(virtualcointoss.com)을 이용해, 두께가 0인 이상적인 동전을 5번의 독립 실험에서 각각 10⁴, 10⁵, 10⁶번까지 반복하였다. 각 실험에서 앞면(Heads)과 뒷면(Tails)의 발생 횟수 n_H, n_T를 기록하고, 전체 시도 횟수 N을 표본 크기로 정의하였다. 두 번째로, 10⁷ 이하의 모든 소수를 열거하고, 2와 5를 제외한 1, 3, 7, 9 네 가지 마지막 자리(j)의 출현 횟수 n_j를 계산하였다. 여기서 N은 소수의 총 개수(664,579)이며, 각 j에 대한 상대 빈도 f_j = n_j / N을 구했다. 두 경우 모두 ‘결과의 범위’ R = n_max – n_min을 정의하고, 이를 표본 크기 N으로 정규화한 R/N을 사용하였다. 저자들은 R/N이 N에 대해 파워‑법칙 형태 R/N ∝ N^β (β<0) 로 감소한다는 가설을 세우고, 로그‑로그 플롯에 데이터를 표시하였다. 동전 실험에서는 R/N = 3.1461·N^‑0.6237 (표준 오차 ±0.0272)라는 회귀식이 도출되었으며, 소수 마지막 자리에서는 R/N = 0.5294·N^‑0.5832 (표준 오차 ±0.0094)라는 식이 얻어졌다. 두 경우 모두 β값이 약 –0.6으로, R/N이 N이 커질수록 0에 수렴함을 보여준다. 이 결과는 전통적인 대수의 법칙(Law of Large Numbers)의 한 형태로 해석된다. 즉, 표본 크기가 무한대로 커질 때 각 가능한 결과의 상대 빈도 차이(R/N)는 사라지고, 모든 결과가 동일한 확률(동전은 50%, 소수 마지막 자리는 25%)을 갖게 된다. 저자들은 이를 “무작위성은 대수에서만 유효하다”는 결론으로 정리하고, 동전 던지기와 소수 마지막 자리의 통계적 특성이 본질적으로 동일하다고 주장한다. 하지만 연구 설계와 해석에는 몇 가지 비판점이 있다. 첫째, 가상 동전 시뮬레이션은 실제 물리적 동전이 가질 수 있는 편향을 전혀 반영하지 않으며, 따라서 ‘실제 무작위성’과는 거리가 있다. 둘째, 소수의 마지막 자리 분포는 수론적 구조와 연관된 복잡한 현상이며, 단순히 빈도만을 조사하는 것으로는 그 근본 원인을 설명하기 부족하다. 셋째, R이라는 비표준 통계량을 사용했을 때 β≈‑0.6이라는 값이 전통적인 √N 스케일(β=‑0.5)과 차이를 보이는 이유가 충분히 논의되지 않았다. 넷째, 두 현상을 동일한 확률 모델에 귀속시키는 것은, 동전이 독립적인 베르누이 시행인 반면 소수는 결정론적 수열이라는 근본적인 차이를 간과한다는 점에서 과도한 일반화일 수 있다. 그럼에도 불구하고, R/N이 N에 대해 감소한다는 경험적 관찰은 대수의 법칙을 실험적으로 재현한 의미에서 가치가 있다. 특히, β≈‑0.6이라는 지수는 ‘범위’라는 통계량이 평균 편차보다 더 큰 변동성을 포함한다는 점을 시사한다. 향후 연구에서는 카이제곱 검정, 엔트로피 측정 등 보다 정교한 통계적 방법과, 소수 분포에 대한 이론적 모델(예: 디리클레 정리, 모듈러 형식)과의 연계를 통해 무작위성의 정의와 적용 범위를 명확히 할 필요가 있다.