C ‑범주들의 모리타 동형론: 모델 구조와 K‑이론의 새로운 관점

본 논문은 C*‑범주 이론에 모리타 동형을 체계적으로 도입하고, 이를 바탕으로 새로운 퀼 모델 구조를 구축함으로써, C*‑범주들의 호모토피 이론을 확장한다. 1. **배경 및 동기** 1980년대에 Ghez‑Lima‑Roberts가 제시한 C*‑범주 개념은 이후 Doplicher‑Roberts, Davis‑Lück 등 다양한 분야에서 활용되었으며, 특히 Kasparov의 KK‑이론과 연계된 경우에 모리타 동형이 핵심적인 역할을 한다. 그러나 기존 연구는 주로 C*‑대수 수준에서 모리타 동형을 다루었고, 범주 수준에서의 체계적인 호모토피 구조는 부재했다. 2. **포화와 모리타 동형** 저자는 C*‑범주 A에 대해 직접합과 재트랙트를 닫은 ‘포화’ 범주 A^{♮⊕}를 정의한다. 이는 객체들의 직접합을 허용하고, 각 사영을 재트랙트로 분해하는 과정을 반복함으로써 얻어진다. *‑functor F:A→B가 모리타 동형이라 함은, 포화 사상 σ_A와 σ_B를 통해 유도된 F^{♮⊕}:A^{♮⊕}→B^{♮⊕}가 단위동형(unitary equivalence)인 경우이다. 이 정의는 기존의 모리타‑Rieffel 동형과 정확히 일치한다(정리 4.31). 3. **모델 구조 M_Mor** - **객체와 사상**: 범주 C*‑cat은 소규모 유니터리 C*‑범주와 *‑functor(정체성 보존)로 구성된다. - **Cofibration**: 객체 삽입(객체 집합에 대한 전단사)인 *‑functor를 cofibration으로 잡는다. 이는 모델 구조가 코파일러블하게 생성되도록 한다. - **Weak equivalence**: 위에서 정의한 모리타 동형을 약동등으로 채택한다. - **Generating sets**: cofibration은 I={inclusions of objects}, trivial cofibration은 J={σ_A : A→A^{♮⊕}} 등으로 구성된다. - **특성**: 모델 구조는 코파일러블하게 생성되고, 심플렉셜(simplicial)이며, 대칭모노이달(symmetric monoidal) 구조와 호환된다. 또한, 기존의 유니터리 모델 구조에 대한 왼쪽 Bousfield localization이다(정리 4.9). 4. **Picard 군의 범주적 해석** Ho(M_Mor)에서 객체 A의 자동동형군 Aut_{Ho}(A)와 전통적인 Picard 군 Pic(A) 사이에 자연동형이 존재함을 보인다(정리 1.2). 이는 불변적인 Picard 군 정의를 ‘모리타 호모토피’ 관점에서 제공한다. 5. **반가산성(semi‑additivity)** Ho(M_Mor)는 영 객체, 유한 직적곱·직적합, 그리고 코프로덕트→프로덕트 전사도가 동형인 반가산 범주임을 증명한다(정리 1.4). Hom‑집합은 \