프라임‑듀얼 그래디언트 흐름의 전역 지수 안정성

본 논문은 선형 평등 제약을 갖는 비부드러운 복합 최적화 문제에 대해, 프로시멀 증강 라그랑지안을 기반으로 한 프라임‑듀얼 그래디언트 흐름(gradient flow) 동역학의 전역 지수 안정성을 새로운 Lyapunov 기반 접근법으로 증명한다. 1. **문제 설정 및 가정** - 최적화 문제는 목적함수 f(x)+g(z)와 제약 Tx‑z=0으로 정의된다. - f는 m_f‑강한 볼록성 및 L_f‑Lipschitz 연속 그라디언트를 만족하고, g는 proper, lower‑semi‑continuous, convex 특성을 가진 비부드러운 함수이다. - 제약 행렬 T∈ℝ^{m×n}은 전 행이 독립적인 전 행렬(Full row rank)이다. 2. **프로시멀 증강 라그랑지안** - g의 프로시멀 연산자 prox_{μg}와 Moreau envelope M_{μg}를 도입한다. - 증강 라그랑지안 L(x,z;y)=f(x)+g(z)+yᵀ(Tx‑z)+½μ‖Tx‑z‖²를 완전제곱 형태로 변형하고, z에 대해 최소화한 뒤 얻은 L_μ(x;y)=f(x)+M_{μg}(Tx+μy)−½μ‖y‖²는 x와 y에 대해 연속적으로 미분 가능하다. 3. **프라임‑듀얼 그래디언트 흐름 동역학** - 동역학은 w=