비선형 시스템 식별을 위한 쿠프만 기반 지속적 자극 조건

본 논문은 비선형 생물학 시스템의 모델 식별 문제를 해결하기 위해, 쿠프만 연산자 이론을 기반으로 한 새로운 지속적 자극(PE) 조건을 제시한다. 서론에서는 비선형 시스템이 고차원이며 부분적으로만 모델링될 수 있는 현실을 언급하고, 기존 선형 시스템에서 사용되는 PE 개념이 비선형 시스템에는 적용되지 않는다는 문제점을 제시한다. 자동화 실험과 대용량 데이터 생성이 가능해진 현재, 데이터의 풍부함을 정량화하고 설계하는 방법이 절실히 필요함을 강조한다. 다음으로 쿠프만 연산자 이론을 소개한다. 비선형 이산시간 시스템 xₜ₊₁ = f(xₜ) 를 관측 함수 ψ(x) 로 리프팅하면, 무한 차원의 선형 연산자 K 가 존재하여 ψ(f(xₜ)) = K ψ(xₜ) 를 만족한다. 실제 구현에서는 eDMD, deepDMD 등으로 유한 차원의 근사 ψ와 K 를 얻는다. 입력‑쿠프만 연산자 프레임워크에서는 제어 입력 uₜ 를 포함한 시스템 xₜ₊₁ = f(xₜ, uₜ), yₜ = h(xₜ) 를 ψₓ(x) 와 ψᵤ(x,u) 로 분리하고, Kₓ와 Kᵤ 로 표현한다. 이를 통해 비선형 시스템의 전이 함수를 선형 전이 행렬 형태로 기술하고, 전송 함수 G_K(z) = W_h (zI - Kₓ)⁻¹ Kᵤ 로 정의한다. 문제 정의에서는 두 가지 식별 문제를 제시한다. 첫째, 고정된 초기 조건 집합 X₀ 로부터 모델 f(x)를 식별할 수 있는지 여부; 둘째, 실험 설계자가 초기 조건을 자유롭게 선택할 수 있을 때, 어떤 X₀ 가 식별 가능성을 보장하는가. 두 문제 모두 초기 조건을 입력 신호로 간주하고, 쿠프만 리프팅을 통해 선형 식별 문제로 변환한다. PE 조건을 쿠프만 연산자에 적용하기 위해 정의 1과 정의 2를 제시한다. 정의 1은 관측 입력 ϕ(uₜ)의 공분산 행렬 Rϕ(N)이 양정이면 N 차수까지 PE 라고 한다. 정의 2는 초기 조건 x₀ 를 δ(x₀) 형태의 입력으로 보고, 이 입력이 쿠프만 차수 n_L 까지 PE 를 만족하면 전체 비선형 시스템이 식별 가능하다고 정의한다. 정리 1에서는 초기 조건이 PE 를 만족하는 필요충분 조건을 스펙트럼 관점에서 제시한다. 즉, 리프팅된 관측 공간 차원 n_L 만큼의 서로 다른 주파수 ω₁,…,ω_{n_L} 에서 스펙트럼 밀도 Sϕ(ω) 가 0이 아니어야 한다. 증명은 Rϕ(k) 와 Sϕ(ω) 사이의 푸리에 관계와 양정성 조건을 이용해, Sϕ(ω) 가 n_L 개의 비소멸 스펙트럼 라인을 가져야만 Rϕ(N) 이 양정이 되고, 따라서 초기 조건이 충분히 자극적임을 보인다. 알고리즘적 측면에서는 초기 조건을 설계할 때, ψ(x₀) 를 계산하고 해당 관측 입력의 공분산 행렬 Rϕ(N) 의 특잇값을 확인함으로써 PE 여부를 판단한다. 만약 특잇값 중 0에 가까운 것이 존재하면 해당 초기 조건은 랭크가 부족하므로 식별에 부적합하다. 시뮬레이션에서는 3‑node repressilator 유전자 회로를 사용한다. 다양한 초기 농도 조합을 통해 데이터셋을 생성하고, 각각에 대해 리프팅된 관측 행렬의 PSD 랭크를 측정한다. 랭크가 n_L 이하인 경우(예: 특정 초기 조건만 사용) 학습된 비선형 모델은 과적합 현상을 보이며, 테스트 시 진동 주기와 진폭이 크게 왜곡된다. 반면, 랭크가 충분히 높은 초기 조건을 선택하면 모델은 실제 시스템의 비선형 진동을 정확히 재현하고, 장기 예측에서도 낮은 RMSE 를 유지한다. 결론에서는 비선형 시스템 식별에 있어 데이터의 정보량을 정량화하는 새로운 기준을 제시함으로써, 자동화 실험 설계 단계에서 초기 조건을 어떻게 선택해야 하는지에 대한 실용적인 가이드를 제공한다. 쿠프만 기반 PE 조건은 기존 선형 PE 이론을 비선형 영역으로 자연스럽게 확장하며, 스펙트럼 라인의 존재 여부를 통해 식별 가능성을 판단한다는 점에서 이론적·실용적 의미가 크다. 향후 연구에서는 연속시간 시스템, 노이즈 존재 상황, 그리고 실제 실험 데이터에 대한 적용을 확대할 계획이다.