비가우시안 잡음 환경에서 LTI 시스템을 위한 일반화된 카이제곱 탐지기

본 논문은 선형 시불변(LTI) 제어 시스템에 적용되는 모델 기반 이상 탐지기, 특히 카이제곱 탐지기의 임계값 설정을 비가우시안 잡음 환경에서도 정확히 수행할 수 있는 일반화된 방법을 제시한다. 기존 연구들은 시스템·센서 잡음이 정규분포라고 가정함으로써 잔차가 정규분포를 따르고, 거리 측도 zₖ 가 자유도 p 인 카이제곱 분포를 따른다는 수학적 편의를 이용해 허위 경보율 A* 에 대응하는 임계값 α 를 역감마함수 형태로 도출하였다. 그러나 실제 시스템에서는 센서 양자화, 비선형 왜곡, 외란 등으로 인해 잡음이 다중 피크를 보이거나 비대칭적인 형태를 띠는 경우가 많아, 가우시안 가정만으로는 정확한 탐지기 튜닝이 불가능하다. 이를 해결하기 위해 저자는 시스템 잡음 vₖ 와 센서 잡음 ηₖ 의 확률밀도함수를 각각 Gaussian Mixture Model(GMM)로 표현한다. GMM은 m₂ 개의 시스템 잡음 가우시안 성분과 m₁ 개의 센서 잡음 가우시안 성분으로 구성되며, EM 알고리즘을 통해 데이터로부터 파라미터(평균, 공분산, 혼합 비율)를 추정한다. GMM은 임의의 확률분포를 근사할 수 있는 보편적인 도구이므로, 비가우시안 특성을 그대로 보존하면서도 수학적 분석이 가능하도록 만든다. 논문은 먼저 Luenberger 형태의 관측기를 사용해 잔차 rₖ = yₖ − C x̂ₖ 를 정의하고, 이를 시스템·센서 잡음의 선형 결합으로 전개한다. 특성함수(Characteristic Function)를 이용하면 잔차의 컨볼루션 연산이 곱셈 형태로 변환되어, 각 가우시안 성분의 특성함수가 지수 형태임을 활용해 전체 특성함수가 다시 가우시안 형태의 합으로 정리된다. 이 과정에서 Lemma 2를 통해 잔차 rₖ 가 mₖ = m₁^{k}·m₂^{k‑1} 개의 가우시안 모드로 구성된 GMM임을 증명한다. 시스템이 안정적이고 관측기가 충분히 빠르게 수렴하면, 잔차 GMM은 시간에 따라 정상 상태 분포 f_{r∞} 로 수렴한다(Lemma 3). 따라서 실제 탐지 설계에서는 정상 상태 평균 μ 와 공분산 Σ 만을 사용해 거리 측도 zₖ = (rₖ‑μ)ᵀ Σ⁻¹ (rₖ‑μ) 를 정의한다. 여기서 μ 와 Σ 는 전체 GMM의 평균·공분산으로, 각 모드의 평균 μ_j 와 공분산 K_j 를 가중합해 계산한다(식 30). 다음으로 Theorem 1에서는 거리 측도 zₖ 의 분포를 다중 카이제곱 분포의 가중합으로 표현한다. 각 가우시안 모드마다 고유한 자유도와 스케일 파라미터가 존재하므로, 전체 P(zₖ>α) 는 각 모드별 카이제곱 누적분포함수(CDF)의 가중합으로 계산된다. 따라서 원하는 허위 경보율 A* 에 대해 임계값 α 를 구하려면, 위 가중합 식을 이용해 수치적으로 역함수를 찾으면 된다. 이는 기존 가우시안 전제 하의 식과 일치함을 보이며, 비가우시안 잡음에서도 동일한 정확도를 제공한다. 실제 적용을 위해 저자는 GMM 모드 수가 급격히 증가하는 문제를 인식하고, 모드 병합·클러스터링 기법을 제안한다. 불필요한 모드를 합쳐서 모델 복잡도를 낮추면서도 분포 근사의 정확성을 유지한다. 실험에서는 센서 양자화와 비대칭 잡음이 포함된 시뮬레이션 데이터를 사용해, 가우시안 가정 기반 임계값과 GMM 기반 임계값을 비교한다. 결과는 가우시안 기반 방법이 허위 경보율을 크게 초과하거나 탐지 민감도가 감소하는 반면, 제안된 GMM 기반 방법은 목표 허위 경보율을 정확히 달성하고 탐지 성능을 유지함을 보여준다. 마지막으로 논문은 제안 방법이 기존 가우시안 기반 탐지기와 완전히 호환됨을 확인한다. 시스템이 실제 가우시안 잡음을 갖는 경우, GMM은 단일 가우시안 성분만을 포함하게 되므로, 제안된 식은 기존 Lemma 1의 결과와 동일하게 된다. 따라서 이 일반화된 프레임워크는 잡음 분포에 관계없이 동일한 설계 절차를 제공한다. 결론적으로, 본 연구는 비가우시안 잡음이 존재하는 현실적인 제어 시스템에서도 모델 기반 이상 탐지기의 임계값을 정확히 튜닝할 수 있는 이론적·실용적 기반을 마련한다. GMM을 통한 확률분포 전파, 특성함수 기반 분석, 다중 카이제곱 누적분포 가중합 계산이라는 일련의 절차는 탐지기의 허위 경보율을 사전에 보장하면서도 공격자에 대한 스텔스 공격 가능성을 정량화하는 데 필요한 도구를 제공한다. 향후 사이버‑물리 시스템 보안, 산업 자동화, 스마트 그리드 등 다양한 분야에서 비가우시안 잡음에 강인한 이상 탐지기 설계에 활용될 전망이다.