실수 차원군과 순서 구조의 새로운 전개

초록

본 논문은 부분 순서 실수 벡터공간에 대한 Riesz 보간 성질을 차원군 이론과 연결시킨다. 실수(또는 임의의 실수 부분체) 위의 유한 차원 좌표wise 순서 공간들의 직접극한으로 모든 보간을 만족하는 공간을 기술하지만, 카운트 가능한 차원에서는 추가적인 “양의 정수 생성” 조건이 필요함을 보인다. 또한 다항식 링 (L

상세 분석

이 논문은 두 개의 주요 축을 가진다. 첫 번째는 “실수 차원군”(real dimension groups)이라는 개념을 기존의 차원군 이론에 실수 벡터공간 구조를 결합한 확장으로 정의하고, 두 번째는 이러한 구조가 Riesz 보간(Riesz interpolation) 성질을 언제 만족하는지를 정확히 규정한다.

핵심 정의는 다음과 같다. 부분 순서 (F)-벡터공간 (V)는 양의 원뿔 (V^{+})이 닫혀 있고, 스칼라 곱이 양의 원소 (F^{+})와 보존되는 경우를 말한다. 이런 공간이 “단순(simplicial)”이라 함은 어떤 정수 (n)에 대해 (V\cong F^{n})와 동형이며, 좌표wise 순서를 갖는 경우이다. 보간 성질은 네 원소 (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})에 대해 (x_{i}\le y_{j})이면 중간 원소 (z)가 존재하는 조건이다.

정리 1은 “(V)가 보간을 만족하면 단순 (F)-벡터공간들의 직접극한으로 표현될 수 있다”는 것을 주장한다. 그러나 카운트 가능한 차원에서는 직접극한을 구성하려면 (F^{+})-생성이라는 추가 가정이 필요하다. 즉, (V^{+})가 (F^{+})의 가산 집합으로 생성될 수 있어야 한다. 이 조건이 없으면, 예를 들어 실수 다항식 링 (R=\mathbb{R}