리만 다양체 위의 리프시츠 사영 함수의 부드러운 근사

초록

연결된 닫힌 리만 다양체 위에서 정의된 리프시츠 사영값 함수는, 리프시츠 상수의 차이가 거의 없도록 부드러운 사영값 함수로 균등하게 근사될 수 있음을 보였다. 이는 리프시츠 사영 함수의 매끄러운 근사 가능성에 대한 리에퍼의 질문에 대한 긍정적 답변이다.

상세 분석

본 논문은 두 가지 핵심적인 문제를 동시에 해결한다. 첫 번째는 일반적인 실수값 리프시츠 함수에 대해 잘 알려진 매끄러운 근사 정리를 사영값 함수, 즉 자기수반이며 스펙트럼이 {0,1}인 연산자값 함수에 확장하는 것이며, 두 번째는 근사 과정에서 원래 함수의 리프시츠 상수를 거의 보존한다는 정밀한 정량적 추정이다. 저자는 먼저 닫힌 연결 리만 다양체 M에 대해 임의의 리프시츠 사영값 함수 p∈C(M,𝔐_n) (𝔐_n은 n×n 복소 행렬 대수) 를 선택하고, 표준적인 열벡터장에 대한 열벡터형식의 열연산자를 이용해 p를 부드러운 자기수반 함수 p_ε으로 근사한다. 여기서 열연산자는 열벡터를 평행 이동시키는 지오데식 흐름을 이용한 열적분을 통해 정의되며, 이는 기존의 몰프(Mollifier) 기법을 리만 기하학적 환경에 맞게 변형한 것이다. p_ε는 C^∞(M,𝔐_n)에 속하고 ‖p_ε−p‖_∞≤ε를 만족한다.

그 다음 단계는 p_ε를 다시 사영값 함수 q로 변환하는 과정이다. 저자는 스펙트럼 분해와 연속 함수적 계산을 이용해, 스펙트럼이