원 위 화이트헤드 스펙트럼의 저차 동치와 새로운 계산

초록

Waldhausen, Farrell‑Jones, Igusa, Weiss‑Williams의 주요 연구에 따르면, 음의 전단곡률을 갖는 폐쇄된 리만 다양체의 홈오몰피즘 공간의 저차 동치군은 그 다양체의 기본군에 대한 함숫값으로 표현될 수 있다. 그러나 이 함수를 완전히 규정하려면 원의 위상적 화이트헤드 스펙트럼의 동치군을 알아야 한다. Bokstedt‑Hsiang‑Madsen의 사이클로트롭 트레이스와 Dundas 정리를 이용하면, 구면 스펙트럼의 위상적 Hochschild T‑스펙트럼에서 정수 링의 위상적 Hochschild T‑스펙트럼으로 가는 Hurewicz 사상에 의해 유도된 사상의 호섬유의 등변동치군을 통해 이러한 동치군을 표현할 수 있다. 우리는 이 호섬유의 동치군을 계산하고, 따라서 원의 위상적 화이트헤드 스펙트럼의 저차 동치군을 구한다. 이 결과는 Anderson‑Hsiang 및 Igusa의 이전 연구를 확장하고, Grunewald‑Klein‑Macko의 최신 연구를 보완한다.

상세 요약

이 논문은 음의 전단곡률을 가진 폐쇄 리만 다양체 (M)에 대한 홈오몰피즘 군 (\mathrm{Homeo}(M))의 저차 동치군을 이해하려는 장기적인 프로그램의 마지막 퍼즐 조각을 제공한다. Waldhausen가 제시한 A‑이론과 그 후속 연구들(Farrell‑Jones, Igusa, Weiss‑Williams)은 (\pi_{k}\bigl(\mathrm{Homeo}(M)\bigr))가 기본군 (\pi_{1}(M))에 의존하는 함숫값으로 전개될 수 있음을 보여준다. 이때 핵심이 되는 객체는 위상적 화이트헤드 스펙트럼 (Wh^{\mathrm{top}}(S^{1}))이다. 왜냐하면, (\pi_{}Wh^{\mathrm{top}}(S^{1}))가 바로 (\pi_{}\mathrm{Homeo}(M))의 ‘보조 항’으로 작용하기 때문이다.

전통적으로 화이트헤드 스펙트럼은 대수적 K‑이론과 연결되어 있었으며, 그 계산은 매우 어려운 문제였다. 최근에는 사이클로트롭 트레이스 (\mathrm{trc}\colon K\to TC) (Bökstedt‑Hsiang‑Madsen)와 Dundas‑Goodwillie‑McCarthy 정리가 도입되면서, K‑이론을 보다 계산하기 쉬운 위상적 Hochschild 동치 (THH)와 위상적 순환 동치 (TC)로 전이시킬 수 있게 되었다. 특히, Dundas 정리는 사슬 복합체
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