효율적인 DFA·NFA 압축과 빠른 문자열 판별을 위한 새로운 데이터 구조

초록

본 논문은 결정적·비결정적 유한 자동자를 정보이론적 최적 비트 수로 압축하는 방법을 제시한다. DFA는 일반 경우 (σ‑1) n log n + O(n log σ) 비트, 비순환 DFA는 (σ‑1)(n‑1) log n + 3n + O(log²σ) 비트로 저장하며, 문자열 수용 여부를 각각 O(|x| log σ)와 O(|x|) 시간에 판단한다. NFA는 σ n² + n 비트로 인코딩하고 O(n² |x|) 시간에 수용 여부를 결정한다. 또한 합·교·보완 연산을 공간·시간 효율적으로 수행하는 알고리즘을 제공한다.

상세 분석

이 논문은 자동자 이론과 압축 데이터 구조를 융합하여, DFA와 NFA를 정보이론적 하한에 근접한 비트 수로 저장하면서도 실용적인 질의 연산을 지원하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 먼저, 기존 연구에서 도출된 DFA와 NFA의 개수에 대한 조합론적 결과를 활용해 각각 (σ‑1) n log n + O(n) 비트와 σ n² + n 비트가 정보이론적 최소 비트 수임을 보인다. 이를 바탕으로 저자들은 두 종류의 자동자를 그래프 형태로 모델링하고, 각 상태를 정점, 각 전이 라벨을 엣지 라벨로 보는 방식으로 변환한다.

DFA의 경우, 전이 함수가 결정적이므로 각 정점의 아웃-디그리 ≤ σ이며, 라벨이 중복되지 않는다. 이를 이용해 (σ‑1) n log n 비트를 차지하는 “라벨 별도 저장” 방식을 설계하고, 라벨 선택을 rank‑select 구조와 succinct tree 표현을 통해 O(1) 시간에 수행한다. 특히, 비순환 DFA(acyclic DFA)에서는 트리 형태의 전이 그래프가 형성되므로, 전이 정보를 압축 트리와 추가 비트(3n 등)만으로 표현할 수 있다. 이때 문자열 수용 판정은 단순히 입력 심볼을 따라 트리를 순회하면 되므로 O(|x|) 시간, 즉 최적의 질의 복잡도를 달성한다.

NFA는 각 전이가 상태 집합을 반환하므로 전이 그래프가 다중 엣지를 갖는다. 저자들은 전이 집합을 비트 매트릭스로 표현하고, 이를 압축하기 위해 σ n² 비트를 사용한다. 질의 시에는 현재 가능한 상태 집합을 비트 연산으로 업데이트하면서 O(n² |x|) 시간에 수용 여부를 판단한다. 비록 시간 복잡도가 DFA에 비해 높지만, 공간 효율성 측면에서는 정보이론적 하한에 정확히 일치한다.

또한, 두 DFA의 곱 자동자(product automaton)를 구성하는 알고리즘을 제시한다. 곱 자동자는 상태 수가 n₁·n₂이지만, 저자들은 기존의 succinct representation을 그대로 재활용함으로써 O(n₁·n₂) 시간과 O(n₁·n₂ log (n₁·n₂)) 비트만으로 구축한다. 이를 통해 언어 합집합·교집합·보완 연산을 효율적으로 수행할 수 있다.

전체적으로 논문은 (1) 정보이론적 하한을 정확히 맞춘 압축 스킴, (2) rank‑select와 succinct tree를 활용한 상수 시간 라벨 접근, (3) 비순환 구조에서 최적 질의 시간, (4) 표준 자동자 연산을 위한 효율적 알고리즘이라는 네 가지 핵심 기여를 제공한다. 이 결과들은 대규모 문자열 처리, 네트워크 필터링, 하드웨어 구현 등 메모리 제한이 심한 환경에서 DFA/NFA를 활용하고자 하는 실무와 연구에 큰 영향을 미칠 것으로 기대된다.