스패닝 트리를 활용한 고차원 데이터 구조 시각화

초록

본 논문은 고차원 데이터의 전역 구조를 그래프 형태로 보존하는 차원 축소 기법인 STAD(Spanning Trees as Approximation of Data)를 제안한다. 완전 가중 그래프에서 최소 신장 트리를 기반으로 단위 거리 그래프를 만들고, 원본 거리 행렬과의 피어슨 상관을 최대화하도록 추가 엣지를 자동 선택한다. 파라미터가 필요 없으며, 필터 함수를 통해 특정 특성을 강조할 수 있다. 바르셀로나 교통 밀도와 스페인 지역 대기질 데이터에 적용해 유용성을 입증한다.

상세 분석

STAD는 고차원 데이터 포인트를 정점으로 하는 완전 가중 그래프 Gₓ를 구성한 뒤, 최소 신장 트리(MST)를 추출한다. MST는 모든 정점을 연결하면서 총 가중치를 최소화하지만, 거리 정보를 충분히 전달하지 못한다는 한계가 있다. 이를 보완하기 위해 STAD는 MST를 단위 거리 그래프 U₀로 변환한다. 여기서 모든 엣지는 길이 1로 통일되고, 두 정점 사이의 그래프 거리는 최단 경로 길이(엣지 수)로 정의된다. 이후 원본 거리 행렬 Dₓ의 가중치를 기준으로 남은 엣지를 가중치 오름차순으로 정렬하고, 하나씩 추가하면서 Uᵢ를 점진적으로 풍부하게 만든다. 각 단계에서 Uᵢ의 최단 경로 거리 행렬 Dᵤᵢ와 Dₓ 사이의 피어슨 상관을 계산하고, 상관값이 최대가 되는 i*를 자동으로 선택한다. 상관값은 0~1 사이이며, 1에 가까울수록 그래프 거리와 원본 유클리드 거리의 비례 관계가 잘 유지된다는 의미다.

이 과정은 기존 차원 축소 기법과 근본적으로 다르다. t‑SNE·UMAP은 고차원 공간의 확률 분포를 저차원에서 재현하려고 하며, 주로 근접 이웃을 보존한다. 따라서 전역적인 거리 구조는 왜곡될 위험이 있다. 반면 STAD는 전역 거리 보존을 목표로 하면서도 좌표계에 얽매이지 않는 네트워크 형태를 제공한다. 또한, 토폴로지 데이터 분석(TDA)에서 사용되는 클러스터·렌즈 기반 요약과 달리, STAD는 개별 데이터 포인트를 정점으로 유지해 해상도를 잃지 않는다. 파라미터가 없는 자동 엣지 선택 메커니즘은 사용자가 적절한 ε 값이나 클러스터 수를 지정해야 하는 기존 방법에 비해 실용성을 높인다.

필터 함수의 도입은 그래프 구조에 가중치를 부여하거나 특정 변수에 기반한 엣지 추가/제거를 가능하게 한다. 예를 들어, 시간적 변화를 강조하고 싶을 때는 시간 차이를 가중치에 반영하거나, 특정 지역의 밀도를 강조하기 위해 밀도 기반 필터를 적용할 수 있다. 이러한 확장성은 탐색적 데이터 분석에서 새로운 관점을 제공한다.

계산 복잡도 측면에서는 초기 완전 그래프 구축이 O(n²) 시간·공간을 요구하지만, 이후 MST와 엣지 정렬·추가 과정은 O(n log n) 정도에 머문다. 대규모 데이터셋에 적용하려면 근사 거리 계산이나 샘플링 기법이 필요할 수 있다.

실험에서는 바르셀로나 교통 밀도와 Castile‑León 대기질 시계열 두 실제 데이터에 STAD를 적용했다. 교통 데이터에서는 주요 도로와 교통량이 높은 구역이 고밀도 서브그래프 형태로 나타났으며, 대기질 데이터에서는 계절적·시간적 변동이 그래프의 클러스터 구조와 엣지 가중치 변화로 시각화되었다. 기존 t‑SNE·UMAP 결과와 비교했을 때, STAD는 전역적인 트렌드와 지역적 밀도 변화를 동시에 포착하는 장점을 보였다.

요약하면, STAD는 최소 신장 트리를 출발점으로 하여 단위 거리 그래프를 점진적으로 풍부하게 만들고, 원본 거리와의 상관을 최적화함으로써 고차원 데이터의 전역 구조를 파라미터 없이 시각화한다. 이는 기존 차원 축소·TDA 기법의 한계를 보완하고, 데이터 탐색에 새로운 자유도를 제공한다.