입자 회전과 미세구조를 반영한 새로운 마이크로모픽 연속체 모델

초록

본 연구는 입자 간 전이와 회전을 독립 변수로 도입하고, 대칭 응력‑변형률 및 대칭 커플‑곡률 연관을 보장하는 수정된 마이크로모픽 연속체 모델을 제안한다. 미크로메카니즘 기반으로 접촉 강성 및 내부 길이와 같은 미세구조 정보를 이용해 복합 탄성 계수를 도출하였다.

상세 분석

이 논문은 기존 마이크로모픽 이론이 입자 간 비대칭 응력‑응변 연관을 제대로 구현하지 못한 점을 지적하고, 이를 해결하기 위해 두 가지 핵심 가정을 도입한다. 첫째, 입자 회전을 변위와 별개의 자유도(독립 회전)로 취급함으로써 미시 변위와 회전이 각각 매크로 변형과 플럭투에이션으로 분해된다. 이는 전통적인 Mindlin‑Eringen 접근에서 매크로 변위가 미시 변위와 직접 합산되는 방식과 차별화된다. 둘째, 미시 변위 구배를 1차 테일러 전개만 사용하고 2차 미세 변형 구배 항을 무시함으로써, 응력‑변형률 관계와 커플‑곡률 관계를 1차 형태로 단순화한다. 이러한 단순화는 수식적 복잡성을 크게 낮추면서도 입자 간 접촉 커플이 발생하는 물리적 메커니즘을 유지한다.

모델은 Cauchy 응력과 커플 응력이 각각 대칭 텐서가 되도록 에너지 공액(conjugation) 원리를 적용한다. 상대 응력·상대 커플 응력은 비대칭 텐서로 남겨 두어, 접촉 쌍에서 발생하는 전단 및 회전 커플을 정확히 기술한다. 미크로메카니즘 단계에서는 접촉면을 기준으로 로컬 좌표계(n, s, t)를 정의하고, 접촉 강성(법선·전단·전단 모멘트)과 내부 길이(입자 반경)를 매개변수로 하는 선형 등방성 탄성 에너지 함수를 구축한다. 이 에너지 함수를 입자 쌍에 대해 평균화하고 부피 평균을 취함으로써 매크로 변형 에너지 밀도를 얻는다. 변분을 통해 구한 미시 접촉력·모멘트는 매크로 Cauchy 응력·커플 응력에 직접 연결되며, 최종적으로 복합 탄성 계수는 접촉 강성 및 입자 반경(내부 길이)의 조합 형태로 표현된다.

핵심적인 혁신은 (1) 대칭 Cauchy·커플 응력 확보, (2) 독립 입자 회전 도입으로 2차 미세 변형 구배 제거, (3) 미크로메카니즘 기반으로 물리적 의미가 명확한 모듈러스 도출이다. 이는 기존 Misra‑Poorsoljouy 모델이 비대칭 Cauchy 응력을 예측하던 문제를 근본적으로 해소한다. 또한, 모델은 매크로‑미크로 연계가 명시적이므로, 실험적 접촉 강성 측정값을 직접 매크로 물성에 매핑할 수 있는 실용적 장점을 제공한다.

한계점으로는 1차 전개에 의존함으로써 큰 변형이나 입자 파쇄(크러시빌리티)와 같은 비선형 현상을 포착하기 어려우며, 접촉 면을 원형으로 가정한 단순화가 실제 비구형 입자군에 적용될 때 정확도 저하 가능성이 있다. 향후 연구에서는 비선형 접촉 모델과 다중 스케일 동역학을 결합해 모델을 확장할 필요가 있다.