재해 후 전력망 복구 일정 최적화

초록

본 논문은 스위치 수가 제한된 배전망에서 손상된 설비 복구 작업을 병렬 기계 스케줄링 문제로 모델링하고, 그룹 소프트 선행 제약을 고려한 두 가지 리스트 스케줄링 알고리즘을 제안한다. LP 기반 리스트 스케줄링은 2‑근사 비율을 보이며, 최적 단일 작업 순서를 다중 작업자로 변환하는 전환 알고리즘은 2‑1/m 근사 비율을 달성한다.

상세 분석

논문은 먼저 배전망을 트리 구조로 가정하고, 스위치가 설치된 섬(아이솔레이션) 단위로 네트워크를 분할한다. 각 섬은 내부의 모든 손상된 라인이 복구될 때까지 전력이 공급되지 않으며, 상류 섬이 복구되어 전원이 공급된 후에만 하류 섬이 에너지화될 수 있다. 이러한 관계를 “그룹 소프트 선행 제약”(group soft precedence constraint)이라 정의하고, 섬 간의 선행 관계를 그래프 P 로 표현한다.

에너지화 시간 E_J 은 섬 J 내 모든 라인의 최종 복구 완료 시간 C_J 의 최댓값으로 정의되며, 섬 J 의 가중치 ω_J 은 해당 섬에 포함된 노드 가중치의 합으로 설정한다. 목표는 총 가중 에너지화 시간 H = ∑ ω_J E_J 를 최소화하는 것이다. 이는 병렬 동일 기계 스케줄링 문제에 그룹 소프트 선행 제약을 추가한 형태와 동일하다.

이론적 분석에서는 먼저 기존의 병렬 기계 스케줄링에 대한 유효 부등식(정리 1)을 활용해 LP 완화 모델을 구성한다. LP 목표는 위와 동일한 가중 에너지화 시간을 최소화하고, 제약식(3b)–(3e) 로 복구 시간, 에너지화 시간, 선행 관계, 그리고 정리 1의 부등식을 포함한다. LP 해의 각 작업에 대해 중간점 M_j = C_j^LP − p_j/2 를 정의하고, 이를 오름차순 정렬해 우선순위 리스트를 만든다. 리스트 스케줄링은 기계가 비어 있을 때마다 리스트의 다음 작업을 할당하는 단순한 방식이다.

증명에서는 (5)–(9) 식을 통해 각 작업의 실제 시작·완료 시간이 LP 해의 두 배 이하임을 보인다. 특히, 선행 제약을 위반하지 않도록 리스트를 구성하면, 섬 J 의 에너지화 시간 E_J^H 가 LP 하한 E_J^LP 의 두 배 이하가 된다. 따라서 알고리즘 1 은 2‑근사 알고리즘임을 정리 2 로 제시한다.

다음으로 다중 작업자에 대한 전환 알고리즘을 제안한다. 먼저 단일 작업자(m = 1) 상황을 분석하면, 섬 내부 작업은 중단 없이 연속적으로 수행하는 것이 최적임을 보인다(스텝 1). 섬 내부 작업 순서는 에너지화 시간에 영향을 주지 않으므로, 각 섬을 하나의 복합 작업으로 축소할 수 있다. 이렇게 축소된 문제는 “out‑tree” 선행 관계를 갖는 1 | out‑tree | ∑ ω_J C_J 형태와 동등하며, 이는 다항 시간 최적화가 가능하다(레마 1).

이 최적 단일 작업 순서를 다중 작업자에 적용하기 위해, 복합 작업 순서를 그대로 유지하면서 작업을 m개의 작업자에게 균등하게 분배한다. 이 전환 과정에서 각 섬의 에너지화 시간이 최대 2 − 1/m 배만큼 증가한다는 근사 비율을 정리 4 로 증명한다. 즉, 작업자 수가 많을수록 근사 비율이 1에 가까워진다.

알고리즘 구현 시 제약식(3e)의 수가 지수적으로 많을 수 있지만, 해당 부등식의 분리 문제는 타원체 방법을 이용해 다항 시간에 해결 가능하다고 언급한다. 실험적 검증은 논문에 포함되지 않았지만, 제시된 이론적 경계는 기존 연구에서 제시된 2‑근사와 비교해 동일하거나 향상된 성능을 제공한다는 점에서 의의가 크다.

전체적으로 이 연구는 스위치가 제한된 현실적인 배전망 상황을 모델링하고, LP 기반 리스트 스케줄링과 최적 단일 작업 순서 전환을 결합해 다중 작업자 환경에서도 강력한 근사 보장을 제공한다는 점에서 전력 시스템 복구 계획 분야에 중요한 기여를 한다.