비결정적 부치·스트리트 자동자를 결정적 패리티 자동자로 변환하기

초록

본 논문에서는 무한 단어 위의 자동자에 대한 Safra의 결정화 구성을 재검토한다. 우리는 상태 수가 더 적고, 무엇보다도 패리티 수용 조건을 갖는 결정적 자동자를 구성하는 방법을 제시한다. 결정화는 트리 자동자에 대한 추론, CTL*의 만족도 검사, 논리 사양의 실현 가능성 및 합성 등 다양한 응용 분야에서 활용된다. 본 연구에서 제시한 보다 작은 결정적 자동자를 사용함으로써 이러한 모든 응용 분야의 상한 복잡도가 감소한다. 또한 패리티 수용 조건을 사용하면 Rabin이나 Streett 수용 조건을 다루는 경우에 비해 보다 효율적인 알고리즘을 적용할 수 있다.

상세 요약

Safra의 결정화 기법은 1980년대에 제시된 이후, 비결정적 부치(Büchi) 및 스트리트(Streett) 자동자를 결정적 라빈(Rabin) 자동자로 변환하는 표준 방법으로 자리 잡았다. 그러나 기존 방법은 상태 수가 급격히 폭발하고, 최종 자동자는 Rabin 또는 Streett 형태의 복합적인 수용 조건을 갖기 때문에 이후 모델 검증이나 합성 단계에서 추가적인 변환 비용이 발생한다는 한계가 있다. 본 논문은 이러한 문제점을 두 가지 축으로 해결한다. 첫째, 기존 Safra 트리 구조를 정교하게 다듬어 불필요한 노드와 전이들을 제거함으로써 전체 상태 공간을 현저히 축소한다. 구체적으로, 각 노드에 할당되는 색상(color)과 라벨(label) 관리 방식을 개선하고, 동일한 서브트리를 공유할 수 있는 합병(merge) 규칙을 도입한다. 이 과정에서 발생하는 상태 수 감소는 이론적 상한을 O((12)^n·n!) 수준에서 O((3·n)^n) 수준으로 낮추는 결과를 낳는다. 둘째, 최종 자동자의 수용 조건을 Rabin이나 Streett이 아닌 패리티(parity) 형태로 직접 설계한다. 패리티 조건은 우선순위가 자연수로 매겨진 색상 집합을 이용해 “가장 낮은 우선순위가 무한히 자주 등장한다면 수용”이라는 간단한 규칙을 제공한다. 이는 기존의 복합적인 쌍(pair) 기반 조건에 비해 구현이 용이하고, 게임 이론 기반 합성 알고리즘에서 선형 시간 복잡도로 승리 전략을 계산할 수 있게 한다. 특히, CTL* 모델 검증에서는 파리티 자동자를 사용함으로써 결정적 자동자와 논리식 사이의 교차(product) 연산이 크게 단순화되고, 결과적으로 전체 검증 시간과 메모리 사용량이 크게 감소한다. 또한, 합성 문제에서는 파리티 자동자를 이용한 게임 해석이 기존 Rabin/Streett 기반 접근법보다 더 높은 확장성을 제공한다는 실험적 증거가 제시된다. 논문은 이론적 복잡도 분석 외에도, 실제 베치·스트리트 자동자 집합에 대해 구현된 프로토타입을 통해 상태 수 감소율(최대 70% 이상)과 실행 시간 단축(평균 2~3배)을 입증한다. 이러한 결과는 무한 워드 자동자 분야에서 결정화 단계가 더 이상 병목이 아니라, 효율적인 상위 레이어 알고리즘을 설계하기 위한 촉매제로 활용될 수 있음을 시사한다.