지식 컴파일 언어를 이용한 SAT·MaxSAT 증명 시스템

초록

이 논문은 #SAT와 MaxSAT와 같은 고차 다항식 계층 문제에 대해 Cook‑Reckhow 증명 시스템을 정의하고, 결정형 DNNF(dec‑DNNF)와 그 변형인 인증된 dec‑DNNF를 활용해 다항 시간 검증이 가능한 증명 체계를 제시한다. 또한 기존 #SAT·MaxSAT 솔버가 암묵적으로 생성하는 증명을 형식화함으로써 이론적·실용적 연결고리를 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 Cook‑Reckhow 증명 시스템의 정의를 #SAT와 MaxSAT 문제에 그대로 적용한다. 여기서 증명은 “입력 CNF와 그 해의 개수(또는 최대 만족 가능한 절 수)를 동시에 기술하는 객체”이며, 검증자는 다항 시간 내에 증명의 정당성을 판단해야 한다. 기존의 단순 증명 방식(예: 모든 해를 열거하고 UNSAT 증명 포함)은 해의 수가 지수적으로 커질 경우 증명 크기가 비현실적이므로, 보다 압축된 표현이 필요하다. 이를 위해 저자는 지식 컴파일 분야에서 널리 사용되는 결정형 DNNF(dec‑DNNF)를 차용한다. dec‑DNNF는 변수 테스트가 경로마다 한 번씩만 이루어지고, ∧‑게이트가 변수 집합을 분리하는 구조적 제약을 갖는다. 이러한 제약은 만족 할당의 열거, 모델 카운팅, 최대 해밍 가중치 등 여러 질의를 선형 시간에 해결할 수 있게 한다(정리 1). 그러나 CNF와 dec‑DNNF 사이의 함의 검증(F ⇒ D)은 coNP‑complete임을 보이며(정리 2), 직접적인 증명 검증에 장애가 된다.

이를 극복하기 위해 “인증된 dec‑DNNF”(certified dec‑DNNF)라는 새로운 제한을 도입한다. 각 0‑sink에 해당하는 절을 라벨링하고, 해당 절이 실제로 그 sink에 도달하는 할당을 거부한다는 조건을 추가한다(정의 1). 이러한 구조는 정규 해상도와 읽기‑한번 분기 프로그램 사이의 알려진 대응을 일반화한 것으로, 0‑sink 라벨이 올바른 절임을 다항 시간에 검증할 수 있다(정리 3). 또한 인증된 dec‑DNNF가 표현하는 함수는 라벨된 절들의 합성(F(D))에 함의 관계를 만족한다(정리 4), 따라서 F와 D가 서로 함의 관계에 있으면 동일한 논리 함수를 나타낸다(정리 4와 정리 1의 결합).

이제 #SAT 증명 시스템(kcps‑#SAT)은 “정확한 인증된 dec‑DNNF D가 존재하고, D가 입력 CNF와 동등하며, D가 k개의 만족 할당을 가진다”는 증명을 허용한다. 검증 절차는 (1) D의 인증 여부, (2) D ⇒ F 및 F(D) ⊆ F 확인, (3) D의 모델 카운팅을 통해 k를 얻는 세 단계로 구성되며, 모두 선형 시간에 수행된다. 저자는 현재 #SAT 솔버들(SharpSAT, Cachet, c2d 등)이 내부적으로 이러한 dec‑DNNF를 구축하고 있음을 지적하고, 0‑sink에 절 라벨을 추가하면 바로 인증된 형태가 된다고 설명한다.

MaxSAT에 대해서는 각 절에 선택 변수 s_C를 도입해 확장된 CNF(˜F)를 만든 뒤, 동일한 인증된 dec‑DNNF를 사용해 최대 만족 가능한 절 수를 선택 변수의 1값 개수로 환산한다. 이 경우에도 HW(최대 해밍 가중치) 질의가 선형 시간에 해결되므로, 인증된 dec‑DNNF가 MaxSAT 증명 시스템(kcps‑MaxSAT)의 기반이 된다. 현재 MaxSAT 분야에 이러한 증명 시스템을 구현한 도구는 없지만, 이론적 프레임워크는 향후 솔버 설계에 직접적인 가이드를 제공한다.

전체적으로 논문은 지식 컴파일 언어를 증명 복잡도와 연결함으로써, 고차 NP‑완전 문제에 대한 효율적인 증명 체계를 제시한다. 특히, 기존 SAT 증명 시스템이 CDCL 추적에 의존하던 것과 달리, #SAT·MaxSAT에서는 구조적 제한을 가진 회로 형태의 증명이 검증 가능함을 보였다. 이는 증명 복잡도 이론과 실용적인 모델 카운팅·최적화 솔버 사이의 격차를 메우는 중요한 진전으로 평가할 수 있다.