병렬 구성과 동등성에 따른 정규식 표현력 확장

초록

본 논문은 정규식에 다양한 형태의 병렬 연산을 도입했을 때, 동등성(bisimilarity) 관점에서 표현력이 어떻게 변하는지를 체계적으로 분석한다. 순수 인터리빙 연산을 추가하면 기존 정규식보다 엄격히 더 강한 표현력을 갖게 되고, ACP 스타일의 병렬 연산을 도입하면 또다시 표현력이 증가한다. 마지막으로, ACP 병렬 연산과 캡슐화를 결합하면 모든 유한 자동기의 행동을 bisimilarity까지 동등하게 기술할 수 있음을 증명한다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 정규식이 언어 이론에서 유한 자동기와 동등함을 보이는 반면, 동시성 모델링에서는 bisimilarity라는 보다 정교한 동등성 개념이 필요함을 지적한다. 먼저, 순수 인터리빙(parallel interleaving) 연산을 정규식에 추가함으로써, 두 개의 서브프로세스가 독립적으로 진행되는 모든 가능한 인터리빙을 기술할 수 있게 된다. 이는 기존 정규식이 순차적 연결만을 표현할 수 있는 한계를 넘어서는 것으로, 저자들은 이를 통해 “정규식 + 인터리빙”이 기존 정규식보다 엄격히 강한 표현력을 가진다는 것을 정형적으로 증명한다. 증명은 특정 행동 트리(예: a·b + b·a 형태)를 예시로 들어, 순수 인터리빙 없이는 bisimilarity 수준에서 재현할 수 없음을 보이며, 반대로 인터리빙을 사용하면 동일한 트리를 정확히 재현할 수 있음을 보여준다.

다음 단계에서는 ACP(Algebra of Communicating Processes) 스타일의 병렬 연산을 도입한다. ACP는 단순 인터리빙에 더해 동기화와 통신 규칙을 포함하는데, 특히 두 연산 사이에 공통 행동을 동시에 수행하도록 강제한다. 저자들은 이 연산을 정규식에 통합했을 때, 표현력이 한 단계 더 상승함을 증명한다. 핵심 아이디어는 “통신 가능한 행동을 동시에 발생시키는” 구조를 이용해, 순수 인터리빙만으로는 표현할 수 없는 복합적인 동시성 패턴을 모델링한다는 점이다. 이를 위해, 특정 상태 전이 시스템을 구성하고, 해당 시스템이 ACP 병렬 연산 없이 재현될 수 없음을 보이는 반증 사례를 제시한다.

마지막으로, ACP 병렬 연산에 캡슐화(encapsulation) 연산을 결합한다. 캡슐화는 특정 행동을 숨기거나 제한함으로써, 내부 동작을 외부에 노출시키지 않으면서도 전체 시스템의 행동을 정확히 기술한다. 이 조합은 모든 유한 자동기의 전이 구조를 bisimilarity 수준에서 완전하게 표현할 수 있음을 보인다. 저자들은 유한 자동기의 상태와 전이를 각각 하나의 정규식 원자와 병렬·캡슐화 연산으로 매핑하는 구성법을 제시하고, 이 매핑이 동형(bisimilar)임을 수학적으로 증명한다. 특히, 캡슐화가 없으면 외부에서 관찰 가능한 행동이 과도하게 늘어나지만, 캡슐화를 통해 불필요한 내부 전이를 숨김으로써 정확히 원래 자동기의 행동과 일치시킬 수 있음을 강조한다.

이러한 결과는 Bergstra·Bethke·Ponse가 제시한 “Kleene 별 연산이 포함된 프로세스 대수”의 표현력 연구를 확장한다. 기존 연구는 이진 형태의 Kleene 별만을 고려했으나, 본 논문은 정규식 자체에 병렬 연산을 직접 삽입함으로써 동시성 모델링에서의 표현력 한계를 새롭게 정의한다. 또한, bisimilarity라는 강력한 동등성 기준을 사용함으로써, 단순 언어 동등성보다 더 정밀한 비교가 가능함을 보여준다. 결과적으로, 정규식에 병렬·캡슐화 연산을 포함하는 프레임워크는 전통적인 정규식이 갖지 못한 동시성 표현력을 제공하며, 이는 프로세스 알제브라와 형식적 검증 도구 설계에 중요한 이론적 기반을 제공한다.