다중지수 라카다항식의 쌍대와 새로운 양자역학

초록

다중지수 (q‑)라카다항식은 1+2L 항 재귀식을 만족하지만, 그 쌍대 다항식은 3항 재귀식을 갖는 일반 정규 직교다항식이며, 2L 차 차분방정식을 만족한다. 이를 이용해 실변위 이산양자역학 모델을 구축하고, 폐쇄 관계와 생성·소멸 연산자를 얻었으나 형태 불변성은 없음을 보였다.

상세 분석

본 논문은 기존의 다중지수 (q‑)라카다항식이 2차 차분방정식과 1+2L( L≥M+1) 항 상수계수 재귀식을 만족한다는 사실을 출발점으로, 그 쌍대 다항식이 어떻게 전통적인 3항 재귀식과 2L 차 차분방정식을 갖는 ‘Krall‑type’ 정규 직교다항식이 되는지를 체계적으로 분석한다. 먼저 다중지수 라카다항식 P_D,n(x;λ) 를 정의하고, 이들의 정규화 파라미터와 가상 상태 에너지 등을 명시적으로 제시한다. 핵심은 Theorem 1에 의해 얻어지는 X(x)·P_D,n(x) 형태의 1+2L 항 재귀식이며, 여기서 X(x)는 다중지수 집합 D와 임의 다항식 Y(η) 로부터 구성된다. 이 재귀식의 계수 r_{X,D}^{n,k}는 복잡하지만, 대칭성 r_{X,D}^{n+k,−k}= (d_{D,n}/d_{D,n+k}) r_{X,D}^{n,k} 를 만족한다는 점이 중요한 구조적 단서를 제공한다.

쌍대 다항식 Q_D,x(n) 은 정의식 Q_D,x(n)=P_D,n(x)/P_D,0(x) 로부터 도출되며, 이는 n을 변수, x를 차수로 하는 다항식 Q_D,x(E_n) 로 재표현된다. 차분방정식 (2.18)의 전치에 해당하는 3항 재귀식 E_n Q_D,x(n)=A^dual_{D,x} Q_D,x+1(n)+B^dual_{D,x} Q_D,x(n)+C^dual_{D,x} Q_D,x−1(n) 가 성립하고, 여기서 A^dual_{D,x}=−B_D(x), C^dual_{D,x}=−D_D(x) 로 정의된다. 이로써 Q_D,x(E) 은 전통적인 정규 직교다항계열의 성질을 갖게 되며, 가중함수는 ψ_D(x)·Ξ_D(1)^{-1}·d_{D,n}^{−2} 로 주어진다. 특히, 가중함수에 δ‑함수가 포함되지 않아 순수 Krall‑type이라 할 수 있다.

이러한 수학적 구조를 물리적으로 활용하기 위해 저자는 실변위 이산양자역학(rdQM)에서 Hamiltonian H_D를 (1+2L) 대각 형태로 구성한다. H_D는 기존의 삼대각 형태를 넘어 다중 대각 성분을 갖지만, 폐쇄 관계