역이항 샘플링에서 비대칭 손실을 이용한 확률 추정 최적화

본 연구는 베르누이 시행에서 성공 확률 p를 추정하는 문제를 순차적 절차인 역이항 샘플링을 통해 다룬다. 역이항 샘플링은 정확히 r개의 성공이 관측될 때까지 시행을 계속하는 방식으로, 관측 횟수 N이 p에 대한 충분통계량이 된다. 고정표본 설계와 달리, r을 사전에 정하면 표본 크기가 p에 독립적으로 결정되므로 사전 설계가 가능하다. 논문은 위험을 정의하기 위해 두 종류의 정규화 손실 함수를 도입한다. 첫 번째는 선형‑선형 형태로, 과소추정과 과대추정에 각각 a, b 라는 가중치를 부여한다. 두 번째는 역선형 형태로, x=ĥp/p가 1보다 작을 때는 a·(1/x−1), 클 때는 b·(x−1) 로 정의한다. 두 손실 모두 x=1에서 최소값 0을 갖고, 비대칭성을 통해 실제 응용에서 과소·과대추정에 다른 비용을 반영할 수 있다. 핵심 이론적 결과는 다음과 같다. (i) 추정량이 ĥp=Ω/(N+d) 형태이며, lim n→∞ n·g(n)=Ω>0 를 만족하면, p→0 일 때 위험이 식(6)으로 주어지는 일정한 상한값에 수렴한다. (ii) 선형‑선형 손실에 대해 Ω=r−1, d=−1 (UMVU 추정량) 를 선택하면 위험 η(p) 가 (a+b)(1−p)·Binom(m−1; r−1) 로 표현되고, 모든 p∈(0,1) 에 대해 η(p) < lim p→0 η(p) 가 성립한다(정리 1). 이는 위험이 p에 관계없이 상한값 이하임을 보장한다. (iii) 역선형 손실에 대해서는 위험을 η₁(p)+η₂(p) 로 분리하고, 각각에 대한 상한을 구한다. 여기서 중요한 단계는 a·r·Ω−b·Ω^{r−1}=a−b 를 만족하는 Ω̃ 를 선택하는 것이다. 이 방정식은 a,b≥0, (a,b)≠(0,0) 일 때 유일한 양해 해를 갖으며, Ω̃∈