압축 반사 안테나 기반 3D 영상의 빠른 구현을 위한 행열 분할 ADMM 기법

본 논문은 압축 반사 안테나(Compress​ive Reflector Antenna, CRA)를 활용한 밀리미터파 3D 영상 시스템에서, 과소결정 선형 방정식 g = Hu 에 ℓ₁ 정규화를 적용한 라소(Lasso) 문제를 해결하기 위한 세 가지 분산 최적화 알고리즘을 제안한다. 첫 번째 알고리즘인 **Consensus‑based ADMM**은 센싱 매트릭스 H 를 행 단위로 M 개의 서브매트릭스로 분할하고, 각 서브노드가 동일한 이미지 변수 uᵢ 를 로컬하게 업데이트한다. 중앙 노드는 모든 uᵢ 의 평균을 구해 전역 변수 v 를 소프트‑쓰레시딩 연산으로 ℓ₁ 정규화 효과를 적용하고, 이를 다시 각 노드에 전파한다. 이 구조는 각 노드가 작은 크기의 행렬 (HᵢᴴHᵢ + ρI)⁻¹을 계산하도록 하여 연산 복잡도를 크게 낮추지만, 매 반복마다 전체 이미지(픽셀 수 Nₚ) 크기의 uᵢ 와 v 를 교환해야 하므로 통신 부하가 크다. 두 번째 알고리즘인 **Sectioning‑based ADMM**은 H 를 열 단위로 N 개의 서브매트릭스 Hⱼ 로 나누고, 이미지 벡터 u 를 N 개의 부분벡터 uⱼ 로 분할한다. 각 노드는 전체 측정벡터 g 와 다른 노드가 제공하는 추정 데이터 ĝⱼ (= g − ∑_{q≠j} H_q u_q) 를 이용해 로컬 업데이트를 수행한다. 교환되는 데이터는 추정 데이터 ĝⱼ (크기 Nₘ)뿐이므로 행 기반 방식에 비해 통신량이 현저히 감소한다. 그러나 모든 노드가 서로 완전 연결되어 있어, 노드 수가 증가하면 네트워크 관리가 복잡해진다. 세 번째 **Consensus and Sectioning‑based ADMM**은 행·열 두 축으로 동시에 분할한다. H 를 M × N 개의 블록으로 나누어 각 블록이 독립적인 서브문제를 해결하도록 설계한다. 각 블록은 자체적인 로컬 변수 uᵢⱼ 와 전역 변수 vᵢⱼ 를 갖고, 행‑합의와 열‑합의를 각각 수행한다. 이때 교환되는 데이터는 블록 평균(작은 크기)과 열‑섹션 혹은 행‑섹션 추정 데이터로 제한돼, 통신 효율이 최적화된다. 또한 행·열 두 차원의 병렬성을 활용해 계산 부하를 균등하게 분산시킬 수 있다. 수학적으로는 ℓ₁ 정규화 문제를  min ½‖Hu − g‖₂² + λ‖v‖₁ s.t. u − v = 0 의 형태로 변형하고, ADMM의 일반형식에 맞춰 P = I, Q = −I, c = 0 을 설정한다. 각 기법마다 증강 라그랑지안 L_ρ를 정의하고, u‑업데이트, v‑업데이트(소프트‑쓰레시딩), 그리고 스케일된 이중 변수 s‑업데이트를 순차적으로 수행한다. 행 기반 방식에서는 u‑업데이트에 (HᵢᴴHᵢ + ρI)⁻¹을 행렬 역전법(matrix inversion lemma)으로 효율화한다. 열 기반 방식에서는 (HⱼᴴHⱼ + ρI)⁻¹을 동일하게 처리한다. 복합 방식은 두 변형을 동시에 적용해 블록‑레벨 역전 연산을 수행한다. 수렴 판단은 원시 잔차 rᵖ = Pu + Qv − c 와 이중 잔차 rᵈ = ρPᵀQ(vᵏ − vᵏ⁻¹) 을 사용한다. 행 기반에서는 rᵖ 가 각 uᵢ 와 전역 v 의 차이, 즉 합의 부족을 직접 측정한다. 열 기반에서는 rᵖ 가 각 uⱼ 와 vⱼ 의 차이와 추정 데이터 일관성을 검증한다. 복합 방식은 두 잔차를 동시에 최소화해, 빠른 수렴과 낮은 통신 비용을 동시에 달성한다. 실험에서는 CRA를 이용해 3D 금속 목표물을 촬영하고, 각 기법의 재구성 품질(PSNR, SSIM), 실행 시간, 반복 횟수, 전송된 비트 수를 정량적으로 비교한다. 결과는 다음과 같다. (1) **Consensus ADMM**은 가장 짧은 실행 시간(≈0.8 s)과 높은 PSNR을 보였지만, 전체 이미지 크기만큼의 데이터(수백 MB)를 매 반복마다 전송해야 했다. (2) **Sectioning ADMM**은 전송량을 70 % 이상 절감했으나, 각 노드가 전체 g 와 다른 노드의 추정 데이터를 필요로 하여 연산 복잡도가 약간 증가했다. (3) **복합 ADMM**은 실행 시간과 전송량 모두에서 중간 수준을 유지하면서, 특히 대규모 노드 구성(>16개)에서 통신 병목을 크게 완화하고, 실시간(≈1 s 이하) 수준의 영상 재구성을 가능하게 했다. 결론적으로, 행·열 복합 ADMM은 CRA 기반 고해상도 밀리미터파 영상 시스템에서 계산·통신 자원을 균형 있게 활용할 수 있는 최적의 분산 최적화 프레임워크임을 입증한다. 향후 연구에서는 비동기식 업데이트, 가변 스텝 크기, 그리고 FPGA/ASIC과 같은 하드웨어 가속기와의 연계 등을 통해 더욱 높은 실시간 성능을 목표로 할 수 있다.