향상된 다중경로 시간 지연 추정을 위한 케프스트럼 차감

본 논문은 수중 음향 환경에서 선박이 고정된 수중 마이크(하이드로폰) 근처를 통과할 때 발생하는 Lloyd’s mirror 현상을 이용해 다중경로 시간 지연을 정밀하게 추정하는 새로운 신호 처리 방법을 제시한다. Lloyd’s mirror는 직접 경로와 바닥 반사 경로가 결합해 주파수 스펙트럼에 주기적인 간섭 무늬를 만들며, 이 무늬의 주기(주파수 간격)는 두 경로 간 시간 차이 \(\tau_{i,d}\) 의 역수와 동일하다. 첫 번째 섹션에서는 Lloyd’s mirror 현상의 물리적 배경을 수식으로 전개한다. 직접 파와 반사 파의 진폭 \(A_d, A_i\) 와 위상 차이 \(\kappa\delta l\) 를 이용해 총 강도 \(A_r^2\) 를 도출하고, 파괴적 간섭이 발생하는 조건 \(\kappa\delta l=(2k-1)\pi\) 을 제시한다. 인접한 파괴 간섭선 사이의 주파수 차이는 \(c\delta l=1/\tau_{i,d}\) 이며, 여기서 \(c\) 는 음속이다. 두 번째 섹션에서는 신호 모델을 구체화한다. 수신 신호 \(x(t)=s(t)+\alpha s(t-\tau_\beta)\) 는 직접 파 \(s(t)\)와 감쇠 계수 \(\alpha\) 와 지연 \(\tau_\beta\) 를 갖는 반사 파의 합으로 표현된다. 파워 스펙트럼은 \(|X(f)|^2=|S(f)|^2\bigl(1+\alpha^2+2\alpha\cos(2\pi f\tau_\beta)\bigr)\) 이며, 로그를 취하면 곱셈이 합으로 변환되어 주기성 성분이 명확히 드러난다. 케프스트럼은 로그 파워 스펙트럼의 역푸리에 변환으로 정의되며, 두 개의 독립적인 성분으로 분해된다. 비라몬 \(C_1(\tau)=\mathcal{F}^{-1}\{\log|S(f)|^2\}\) 는 신호 자체에 의해 결정되는 배경이며, 라몬 \(C_2(\tau)=\sum_{n=1}^\infty a_n\delta(\tau-n\tau_\beta)\) 는 시간 지연 \(\tau_\beta\) 의 정수배 위치에 임펄스 형태로 나타난다. 라몬 강도 \(a_n=2(-1)^{n+1}\alpha^n/n\) 는 부호가 교대로 변하고 \(1/n\) 비율로 감소한다. 핵심 기법인 “케프스트럼 차감”은 비라몬을 평균화하여 추정하고 이를 원본 케프스트럼에서 빼는 과정이다. 다수(M)개의 케프스트럼을 평균하면 라몬 성분은 평균값이 0에 수렴하므로 \(\overline{C}_1(\tau)=\frac{1}{M}\sum_{m=1}^M C_m(\tau)\) 가 비라몬의 좋은 근사가 된다. 차감식 \(\hat C_{2,m}(\tau)=C_m(\tau)-a(\tau)\,\overline{C}_1(\tau)\) 에서 \(a(\tau)=1\) 이면 완전 차감, \(a(\tau)>1\) 이면 과차감이다. 과차감은 잡음에 대한 강인성을 높여 실제 데이터에서 최적 \(a\) 값을 1.0~1.05 정도로 찾았다. 시뮬레이션 실험에서는 \(\alpha=1,\;\tau_\beta=224\;\mu s\) 조건에서 파워 케프스트럼, 차감 케프스트럼, 자동상관 함수를 비교하였다. 차감 전에는 비라몬이 수평 밴드 형태로 케프스트럼을 가려 라몬 피크가 흐릿했지만, 차감 후에는 라몬 피크가 명확히 드러나며 시간 지연 추정 정확도가 크게 향상되었다. 실제 해양 실험은 깊이 20 m, 샘플링 250 kHz인 수중 마이크를 이용해 14번의 선박 통과 데이터를 수집하였다. 선박은 200 m 거리에서 접근해 센서를 지나 200 m 뒤에서 기록을 종료했으며, 위치는 0.1 s 간격으로 RF 트래킹으로 기록되었다. 각 0.1 s 구간에 대해 파워 케프스트럼, 차감 케프스트럼, 자동상관을 계산하고 피크 위치를 시간 지연으로 추정했다. 결과는 다음과 같다. 1. 평균 절대 오차(MAE) 측면에서 차감 케프스트럼이 가장 낮았다. \(a=1\) 일 때 MAE는 20 µs 정도 감소했으며, 이는 차감이 없을 때보다 약 2배 정확도 향상을 의미한다. 2. SNR을 인위적으로 낮추는 실험에서도 차감 케프스트럼이 자동상관보다 안정적인 추정값을 제공했다. 특히 SNR이 0 dB 이하일 때도 라몬 피크가 뚜렷하게 남아 추정이 가능했다. 3. 비라몬을 평균화하는 데 사용된 프레임 수 \(M\) 가 충분히 크면(예: \(M=2700\)) 비라몬 추정이 정확해져 라몬 피크가 강화된다. 반대로 \(M\) 가 작으면(예: \(M=20\)) 라몬 자체가 평균에 포함돼 차감이 과도하게 이루어져 성능이 저하된다. 결론적으로, 케프스트럼 차감은 비라몬 성분을 통계적으로 제거함으로써 라몬(시간 지연) 정보를 깨끗하게 추출한다. 이는 기존 자동상관법이 잡음에 민감하고 다중 경로가 여러 개일 때 피크가 겹치는 문제를 해결한다. 향후 연구에서는 다중 반사 경로가 동시에 존재하는 복잡한 환경, 비정상적인 바닥 반사 특성, 그리고 실시간 구현을 위한 알고리즘 최적화 등에 적용 가능성이 제시된다.