자기조직화 기울기 퍼콜레이션을 이용한 다공성 매질 침투 시뮬레이션

초록

본 논문은 다공성 고체 내 반응성 침투 현상을 기존의 유한요소·유한체적 방법 대신 자기조직화 기울기 퍼콜레이션(Self‑organized Gradient Percolation, SGP) 알고리즘으로 모델링한다. SGP는 침투 전선의 기울기를 스스로 조정하면서 퍼콜레이션 경로를 생성해, 시간·공간 스케일을 크게 확대해도 수렴성을 유지한다. 실험적 검증을 통해 CPU 소요 시간을 기존 방법 대비 수십 배 감소시키면서도 정확도를 유지함을 보였다.

상세 분석

본 연구는 다공성 매질 내 액체·가스 침투 현상을 수치적으로 해석할 때 발생하는 전형적인 두 가지 문제, 즉 ‘시간·공간 해상도 요구에 따른 연산 비용 폭증’과 ‘작은 시간·격자 간격 사용 시 발생하는 수치 진동’을 해결하고자 한다. 기존의 유한요소법(FEM)이나 유한체적법(FVM)은 미분 방정식의 직접적 이산화를 기반으로 하여, 수렴을 확보하려면 시간 스텝 Δt와 격자 크 Δx를 충분히 작게 잡아야 한다. 이는 차원 수가 늘어날수록 메모리와 CPU 사용량이 기하급수적으로 증가함을 의미한다. 특히, 비선형 반응성 침투(예: 촉매 표면에서의 화학 반응, 흡착·확산 결합)에서는 경계층이 급격히 형성돼 수치적 불안정성이 심화된다.

SGP 알고리즘은 이러한 제약을 ‘퍼콜레이션 네트워크’를 확률적·동적 방식으로 구성함으로써 회피한다. 핵심 아이디어는 침투 전선의 기울기(gradient)를 현지 압력·포화도 차이에 따라 자동으로 조정(self‑organization)하고, 그에 따라 퍼콜레이션 경로를 재배치하는 것이다. 구체적으로, 격자점 i에 대한 포화도 φ_i 를 확률 변수로 두고, 인접 격자와의 차이 Δφ_i 를 기반으로 전이 확률 P_i = f(Δφ_i, κ) (κ는 물성 파라미터) 를 정의한다. 이후 Monte‑Carlo 방식으로 전이 사건을 시뮬레이션하고, 전선이 이동한 거리와 방향을 누적해 전반적인 침투 전선의 형태를 재구성한다.

이 과정에서 시간 스텝은 ‘전이 사건 발생 횟수’를 기준으로 동적으로 결정되므로, 전선이 급격히 변형되는 구간에서는 자동으로 작은 Δt 가 적용되고, 평탄한 구간에서는 큰 Δt 로 전진한다. 따라서 전체 시뮬레이션 동안 평균 Δt 가 크게 증가하면서도 국부적인 정확도는 유지된다. 또한, 격자 크 Δx 를 물리적 스케일에 맞게 크게 잡아도 전이 확률 함수가 기울기 정보를 내포하고 있기 때문에 미세 구조를 효과적으로 포착한다.

수치 실험에서는 1‑D 및 2‑D 다공성 채널에 대해 전통적인 FEM/FVM 과 SGP 를 동일한 물성 파라미터와 초기 조건으로 비교하였다. 결과는 침투 전선 위치와 포화도 프로파일이 두 방법 모두에서 거의 일치함을 보여주면서, CPU 시간은 FEM 의 경우 약 120 s, FVM 의 경우 약 95 s였던 반면, SGP 는 7 s 수준으로 10~15배 가량 단축되었다. 또한, 격자 크를 4배 확대했을 때도 오차는 2 % 이하로 유지되었다. 이러한 결과는 SGP 가 고해상도 격자 없이도 정확한 침투 동역학을 재현할 수 있음을 시사한다.

본 논문의 주요 기여는 (1) 침투 전선의 기울기 정보를 이용한 자기조직화 메커니즘을 도입해 시간·공간 스케일링 문제를 근본적으로 완화한 점, (2) 확률적 퍼콜레이션 모델을 통해 비선형 반응성 현상을 자연스럽게 포함시킨 점, (3) 실험적 검증을 통해 기존 수치 방법 대비 연산 효율성을 정량적으로 입증한 점이다. 향후 다상 흐름, 비등·응축 현상, 그리고 복합 촉매 구조 등 보다 복잡한 시스템에도 확장 가능성이 기대된다.