대규모 위상 복원 문제를 위한 연속적 볼록 완화와 ADMM 기반 알고리즘

본 논문은 광학 및 영상 분야에서 핵심적인 문제인 일반 위상 복원(phase retrieval) 문제를 대규모 상황에서도 효율적으로 해결할 수 있는 새로운 최적화 프레임워크를 제시한다. 위상 복원은 측정된 강도 y_i=|u_i^H a|² (i=1,…,n_y) 로부터 복소 파라미터 a∈ℂ^{n_a} 를 복구하는 비선형 문제이며, 특히 광학 시스템에서 파면 φ(ρ,θ) 를 추정하는 경우에 해당한다. 기존 접근법은 PhaseLift와 같은 행렬 리프팅을 통해 SDP 형태로 변환하지만, 행렬 차원이 O(m²) (여기서 m 은 pupil plane의 샘플 수) 로 커지면 메모리·시간 복잡도가 O(n⁶) 에 이르러 실용적이지 않다. ### 1. 문제 정의 및 두 형태 논문은 먼저 문제를 두 가지 관점(zonal 형태와 modal 형태)으로 서술한다. Zonal 형태에서는 pupil plane을 격자화해 Z=A e^{jφ} 를 벡터화한 a=vect(Z) 로 두고, 여러 위상 다양성 φ_d 을 적용한 측정값을 y_d=|U_d a|² 형태로 표현한다. Modal 형태에서는 ENZ 혹은 방사형 기저함수 G_i(x,y) 를 사용해 P(x,y)≈∑_{i=1}^{n_a} a_i G_i(x,y) 로 근사하고, 동일하게 y=|U a|² 형태로 정리한다. 두 경우 모두 U∈ℂ^{n_y×n_a} 는 알려진 전파 행렬이며, 목표는 a 를 복구하는 것이다. ### 2. 볼록 완화와 핵노름 최소화 위상 복원 제약 y=|U a|² 은 Lemma 1에 의해 rank(M(U,a,b,y))=n_y 와 동치임을 보인다. 여기서 M(U,a,b,y)∈ℂ^{2n_y×2n_y} 는 a와 임의의 보조 변수 b 에 선형적으로 의존하는 행렬이다. rank 제약은 NP‑hard이므로, 이를 핵노름(‖·‖_*) 으로 완화한다. 따라서 핵노름 최소화 문제 \