신호를 파라메트릭 곡선으로: ICA와 블라인드 소스 분리에의 적용

본 논문은 이미지 등록 분야에서 성공적으로 활용된 “Images Stacks as Parametric Surfaces”(ISPS) 모델을 1차원 신호에 적용한 “Signals as Parametric Curves”(SPC) 모델을 제안한다. ISPS는 이미지 스택을 파라메트릭 표면으로 모델링함으로써, 상호정보(MI)와 밀접한 기하학적 특성을 이용해 정합을 수행한다. 저자들은 이 아이디어를 1차원 신호에 확장하여, 신호를 매개변수 곡선으로 간주하고, 곡선의 길이와 곡률을 통해 신호 간의 상호정보를 근사한다. 블라인드 소스 분리(BSS) 문제는 관측 신호 x(t) = A·s(t) 형태의 선형 혼합 모델을 역으로 풀어 원천 신호 s(t)와 혼합 행렬 A를 복원하는 과제이다. 전통적인 ICA는 신호를 독립적인 확률 변수로 가정하고, MI를 최소화하거나 고차 통계량을 이용해 독립성을 추정한다. 그러나 이러한 가정은 실제 연속 신호가 시간에 따라 변화하는 구조적 정보를 무시한다는 한계가 있다. 논문은 먼저 ICA의 두 단계 프레임워크를 재해석한다. PCA를 통한 whitening 단계는 실제로 혼합 행렬 A의 두 번째 회전(U_A)과 스케일링(Σ_A)을 추정하는 과정이며, 이후 독립성 가정에 기반한 회전(V_A^T) 단계가 남는다. 이때, 전체 엔트로피는 첫 번째 단계에서 이미 최대화되며, 두 번째 단계는 각 마진 엔트로피를 최소화하는 회전 탐색에 해당한다. 이러한 관점은 ICA가 “회전‑스케일링‑회전” 구조를 가진다는 사실을 명확히 보여준다. SPC 기반 접근법은 위와 같은 ICA 구조를 대체한다. 신호를 연속적인 함수로 보고, 시간 도함수(∂x/∂t)를 이용해 곡선의 기하학적 특성을 계산한다. 구체적으로, 신호 곡선의 길이 L = ∫√(1+ (dx/dt)^2) dt 와 곡률 κ = (d^2x/dt^2) / (1+ (dx/dt)^2)^(3/2) 등을 이용해 새로운 목적함수 J_spc를 정의한다. 이 목적함수는 MI를 근사하면서도 미분 정보만 필요하므로 계산이 간단하고, 신호의 시간적 변화를 직접 반영한다. 두 번째 제안은 “FT‑PCA”이다. 신호를 푸리에 변환하여 주파수 도메인으로 옮긴 뒤, 각 주파수 ω에 대해 공분산 행렬 C(ω) = E