실시간 일제곱 최소화 알고리즘 기반 개선 라그랑주 프로그래밍 신경망 국소 경쟁 프레임워크

본 논문은 압축 센싱·희소 근사 분야에서 실시간 처리가 가능한 새로운 아날로그 신경망 기반 **ℓ₁** 최소화 알고리즘을 제안한다. 먼저, 문제 정의와 기존 접근법을 검토한다. 관측 벡터 **b** 와 측정 행렬 **Φ** 가 주어졌을 때, **Φx = b** 를 만족하면서 **x** 의 비제로 원소 수를 최소화하는 **ℓ₀** 최소화 문제는 NP‑hard이므로, 볼록 근사인 **ℓ₁** 최소화, 즉 Basis Pursuit(BP) 형태로 변환한다. BP는 제약식이 포함된 선형 프로그램으로, 전통적인 디지털 솔버(L1Magic, SPGL1 등)는 높은 차원·밀집 행렬에 대해 연산량이 급증해 실시간 적용이 어렵다. 아날로그 신경망은 병렬 연산과 회로 구현을 통해 연산 지연을 크게 줄일 수 있다. 라그랑주 프로그래밍 신경망(LPNN)은 일반적인 비선형 제약 최적화를 라그랑주 승수와 변수 뉴런의 연속 동역학으로 풀지만, 목적함수와 제약식이 두 번 미분 가능해야 한다는 제한이 있다. 반면, 국소 경쟁 알고리즘(LCA)은 **ℓ₁** 정규화 항의 비미분 가능성을 내부 상태 **u** 와 출력 **x** 사이의 임계 함수(soft‑threshold)로 대체함으로써 해결한다. 그러나 LCA는 제약이 없는 형태, 즉 LASSO와 같은 문제에만 적용 가능하고, 원래 BP의 등식 제약을 직접 만족시키지 못한다. 이 두 방법을 결합한 LPNN‑LCA 프레임워크는 Lagrangian에 **ℓ₁** 항과 등식 제약을 포함하고, **u**‑**x** 관계를 LCA의 임계 함수로 두어 동역학을 정의한다. 초기 설계에서는 안정성 분석이 지역적(로컬) 수렴에만 국한되었고, 전역적인 수렴 보장은 어려웠다. 본 논문은 이러한 한계를 극복하기 위해 투영 신경망 이론을 도입한다. 투영 정리에 따르면, 집합 **Z**(여기서는 **u**‑**x** 가 속하는 박스 구간) 위의 비선형 투영 연산은 \