LR NURBS 기반 적응형 국부 표면 정밀화와 접촉 해석 적용

초록

본 논문은 LR NURBS(Locally Refined Non‑Uniform Rational B‑Splines)를 이용한 적응형 국부 표면 정밀화 기법을 제안한다. Bézier 추출 연산자를 도입해 기존 FEM 코드에 손쉽게 통합하고, 자동 재메시징을 통해 정밀화·거칠게 함을 동적으로 제어한다. 3차원 고체와 막 구조의 접촉 해석에 LR NURBS‑강화 유한요소를 적용하여, 균일 정밀화 대비 동일 정확도에서 연산 비용을 크게 절감함을 수치 예제로 입증한다.

상세 분석

LR NURBS는 기존 NURBS의 전역적 정밀화 한계를 극복하고, 파라미터 공간을 국부적으로 분할함으로써 필요한 영역에만 고차원 기반 함수를 삽입할 수 있다. 논문은 먼저 LR B‑splines의 이론적 배경을 정리하고, 이를 유리화하여 LR NURBS를 정의한다. 핵심 기술은 Bèzier 추출 연산자를 LR NURBS에 맞게 재구성한 것으로, 이는 기존의 Bèzier 추출이 텐서형 그리드에 의존하던 문제를 해소하고, 각 LR NURBS 요소마다 독립적인 추출 행렬을 생성한다. 이를 통해 상용 FEM 프레임워크에 최소한의 코드 변경만으로 IGA 기능을 삽입할 수 있다.

자동 재메시징 알고리즘은 오류 지표(예: 접촉 압력, 변형 에너지)의 국부적 분포를 기반으로 정밀화·거칠게 함을 결정한다. 정밀화 단계에서는 선택된 요소에 새로운 메쉬라인을 삽입하고, 기존 LR B‑spline의 최소 지지 영역을 유지하도록 스케일링 팩터를 재계산한다. 거칠게 함 단계에서는 불필요하게 세분화된 영역을 병합하고, 선형 라그랑주 요소와 결합해 전체 해석 비용을 최소화한다.

접촉 해석에 적용하기 위해 저자는 두 가지 모델을 제시한다. 첫째, 고체 구조에서는 접촉면을 LR NURBS‑강화 요소로, 내부 체적은 전통적인 1차 라그랑주 요소로 구성한다. 둘째, 막 구조에서는 전체 표면을 LR NURBS 요소로 discretize한다. 접촉 알고리즘은 무편향(two‑half‑pass) 방식과 페널티 기반 정상·접선 트랙션을 사용하며, 마찰이 있는 경우 쿠흐법칙을 적용한다.

수치 실험에서는 구형 압입, 핀‑볼 접촉, 그리고 복합 재료 막의 슬라이딩 접촉을 다루며, 동일한 오류 허용 범위에서 LR NURBS 기반 모델이 균일 정밀화 NURBS 모델보다 자유도와 연산 시간이 30~60 % 감소함을 보여준다. 또한, LR NURBS가 복잡한 곡면을 정확히 표현하면서도 국부 정밀화를 통해 접촉 영역의 응력 집중을 효과적으로 포착한다는 점을 강조한다.

이 연구는 LR NURBS가 기존 NURBS 기반 IGA의 확장성 문제를 해결하고, 실용적인 접촉 해석에 바로 적용 가능함을 증명한다. 특히 Bèzier 추출과 자동 재메시징을 결합한 프레임워크는 상용 FEM 소프트웨어와의 연동을 용이하게 하여, 산업 현장에서의 채택 가능성을 크게 높인다.