스트라센 알고리즘을 설계하는 새로운 2‑디자인 접근법

초록

본 논문은 2×2 행렬 곱셈을 7번의 곱셈으로 구현하는 스트라센 알고리즘을, 단순한 유니터리 2‑디자인과 군의 궤도(orbit)를 이용해 직관적으로 증명한다. 2‑디자인을 일반화해 모든 차원 n에 대해 n³‑n+1개의 곱셈으로 행렬 곱을 수행하는 알고리즘을 제시하지만, n≥3에서는 최적이 아니다는 점을 명시한다.

상세 분석

논문은 먼저 행렬 곱셈을 3‑차 텐서 MMₙ으로 모델링하고, 이 텐서의 랭크가 알고리즘 복잡도를 결정한다는 사실을 상기한다. 핵심 아이디어는 “유니터리 2‑디자인(unitary 2‑design)”이라는 집합 S⊂ℂⁿ이 두 가지 성질을 만족한다는 점이다: (1) 모든 벡터의 합이 0, (2) 외적 |v⟩⟨v|의 평균이 (1/n)I. 이러한 집합을 이용하면 MMₙ을
\