그레이엄 트리 재구성 추측과 파티션을 이용한 지수적 하한

초록

본 논문은 그레이엄의 “트리 재구성 추측”에 대해, n개의 정점을 갖는 트리 중 서로 다른 그레이엄 수열을 갖는 트리의 개수가 e^{Ω((log n)^{3/2})} 임을 보인다. 이를 위해 Prouhet‑Tarry‑Escott 문제에서 유도된 파티션을 이용해 많은 수의 캣터펄러 트리를 구성하고, 각 트리의 k번째 반복 라인 그래프 크기를 다항식 f_k(d₁,…,d_t) 로 표현해 계수의 상한·하한을 정밀히 분석한다.

상세 분석

그레이엄의 트리 재구성 추측은 “트리 G는 그 반복 라인 그래프들의 정점 수열 |L⁰(G)|,|L¹(G)|,|L²(G)|,… 에 의해 유일히 결정된다”는 주장이다. 기존에는 이 추측이 거의 증명되지 않은 채 남아 있었으며, 알려진 결과는 오직 트리의 전체 개수와 비교했을 때 극히 작은 하한 정도에 불과했다. 논문은 이러한 상황을 크게 개선한다. 핵심 아이디어는 ‘캣터펄러’ 형태의 트리를 이용해 동일한 정점 수 n을 갖지만 서로 다른 그레이엄 수열을 갖는 트리들을 대량으로 만들 수 있다는 점이다.

우선 저자들은 ‘관절(joint)’이라 부르는 캣터펄러의 스파인 상의 정점에 부착되는 다리(leg)의 개수를 d₁,…,d_t 라 두고, 이를 하나의 정수 파티션으로 본다. 파티션을 선택할 때는 Prouhet‑Tarry‑Escott 문제에서 알려진 ‘동일한 거듭제곱 합을 갖는 서로 다른 파티션’ 집합을 활용한다. 즉, 어떤 k 에 대해 ∑d_i^r (1≤r≤k) 가 동일하지만 (d₁,…,d_t) 그 자체는 서로 다른 파티션을 선택한다. 이렇게 하면 각 트리 G_j 에 대해 |L^k(G_j)| 은
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