2차원 감소와 비국소 대칭의 Witt 대수 동형성 연구

초록

본 논문은 3차원 적분가능 방정식 u_{yy}=u_{tx}+u_yu_{xx}-u_xu_{xy}의 두 가지 2차원 감소식(하나는 Gibbons‑Tsarev 방정식과 동등) 에 대해 알려진 라프 쌍을 축소하고, 그 결과 얻어지는 비국소 대칭군이 Witt 대수와 동형임을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 3차원 방정식 u_{yy}=u_{tx}+u_yu_{xx}-u_xu_{xy}가 선형 퇴화형 적분가능 방정식에 속함을 상기한다. 기존 연구에서 이 방정식의 라프 쌍 w_t=(λ^2-λu_x-u_y)w_x, w_y=(λ-u_x)w_x 을 이용해 비국소 구조를 구축할 수 있음을 보여주었으며, 이 라프 쌍을 파라미터 λ 에 대한 멱급수 전개 w=∑{i∈ℤ}λ^{-i}w_i 로 전환한다. 이렇게 하면 무한 차원의 커버링 w{i,x}=w_{i-1,y}+u_x w_{i-1,x}, w_{i,y}=w_{i-1,t}+u_y w_{i-1,x} 가 얻어진다.

다음으로 두 개의 2차원 감소식 (2) u_{yy}=(u_y+y)u_{xx}-u_xu_{xy}-2, (3) u_{yy}=(u_y+2x)u_{xx}+(y-u_x)u_{xy}-u_x 을 고려한다. (2)는 u→u−y^2/2 변환을 통해 Gibbons‑Tsarev 방정식과 동등함을 확인한다. 저자들은 위 라프 쌍을 각각의 대칭 Θ_5+Θ_1, Θ_5+Θ_2 에 대해 제한함으로써 (7)과 (8) 형태의 새로운 커버링 τ_p, σ_p 을 도출한다. 여기서 p∈ℤ 는 초기 조건 w_i=0 (i<p) 을 지정하는 정수 파라미터이며, 비국소 변수들을 r_{p,i} 또는 s_{p,i} 로 재명명한다.

커버링 τ_p 에 대해 p에 관계없이 서로 동형임을 보이기 위해 저자는 복잡한 변환식 r_{p,i}=−(p+3)(s_i−(p+4)d_i) 을 구성한다. 이후 비국소 대칭을 기술하기 위해 가중치 체계를 도입한다. 기본 변수에 |x|=3, |y|=2, |u|=4 로 가중치를 부여하면 비국소 변수 r_{p,i} 의 가중치는 i+4 가 된다. 이 체계 하에서 로컬 대칭 ϕ_{-1}, ϕ_{-2}, ϕ_{2} 을 각각 τ_{-4}, τ_{-5}, τ_{-1} 에 리프트할 수 있음을 보이며, 이 세 대칭이 모든 τ_p 에서 존재함을 증명한다.

리프트된 대칭들을 이용해 재귀적으로 Φ_k (k∈ℤ) 을 정의하고, 이들의 교환 관계