이진 소수 표 시퀀스의 무작위성 및 상관 특성 연구

초록

본 논문은 p개의 열을 가진 정수 표에 소수를 1, 합성수를 0으로 표시하고, 각 열에 최소 하나의 소수가 나타날 때까지 표를 채운 뒤 열별로 모듈러 2 합을 수행해 얻는 이진 소수 표(BPT) 시퀀스를 제안한다. 행별 합을 취한 듀얼 시퀀스(DT)도 정의하고, 두 시퀀스 모두 정보 복잡도 관점에서 무작위성을 보이며, 특히 BPT 시퀀스가 낮은 자기상관과 교차상관 값을 보여 암호·통신 분야에 유용함을 실험적으로 입증한다.

상세 분석

본 연구는 기존의 의사난수 생성기(PNRG)들이 갖는 주기 길이 제한과 불균형 문제를 해결하기 위해 새로운 구조인 이진 소수 표(BPT) 시퀀스를 도입한다. 먼저 자연수를 p개의 열로 정렬한 ‘Numbers Tableau(NTP)’를 정의하고, 각 원소를 소수이면 1, 합성수이면 0으로 변환한 ‘Binary Primes Tableau(BPT)’를 만든다. 여기서 중요한 점은 ‘Complete Binary Primes Tableau(CBPT)’를 구성할 때, 모든 열에 최소 하나의 1이 등장하는 순간을 종료점(N_max)으로 잡는 것이다. 이때 두 가지 종료 방식이 제시되는데, 논문에서는 마지막 행의 남은 원소를 0으로 채워 종료하는 ‘Kind 1’ 방식을 채택한다.

CBPT의 열별 모듈러 2 합은 BPT 시퀀스를, 행별 합은 듀얼 시퀀스(DT)를 만든다. 저자는 ‘p가 충분히 클 때 BPT와 DT는 정보 복잡도 관점에서 무작위다’라는 정리를 제시한다. 증명은 소수 정리와 체(sieve) 알고리즘의 복잡도 O(p·p·q) 를 이용해 N_max → ∞ 일 때 연산량이 무한히 커짐을 보이며, 이는 알고리즘적 예측이 불가능함을 의미한다. 또한, BPT 시퀀스의 1과 0의 비율이 0.5에 수렴함을 실험적으로 확인하고, 이를 ‘balance ratio(k/n)’ 로 정의한다. 표 1은 p가 13, 199, 461, 971, 997 등으로 증가할 때 BPT와 DT의 균형 비율이 0.5에 근접함을 보여준다.

상관 특성 분석에서는 평균 제곱 자기상관(MSP‑AC)과 평균 제곱 교차상관(MSP‑CC)을 사용한다. BPT 시퀀스는 길이 199와 997에 대해 자기상관 피크가 각각 0.1161, 0.2052 로, Gold 시퀀스(0.646, 0.828) 및 Kasami 시퀀스(0.547~0.832)보다 현저히 낮다. 이는 시퀀스가 다른 시퀀스와의 상관에서도 뛰어난 구분성을 가진다는 것을 의미한다. 또한, BPT는 단일 주기(single cycle)를 갖고, 최대 주기 길이는 표의 크기에 의해 결정되므로 설계자가 원하는 길이로 조절 가능하다.

이러한 특성은 암호키 스트림, 스프레딩 코드, 레이더 파형 등 낮은 상관과 높은 예측 불가능성이 요구되는 분야에 직접 적용 가능하다. 특히, N_max 자체가 소수 분포에 의존하므로 공격자가 표의 종료점을 추정하기 어려워, 키 재생성이나 시드 보호에 추가적인 보안 레이어를 제공한다. 다만, DT 시퀀스는 p가 작을 때 균형이 맞지 않아 무작위성 측면에서 BPT보다 열등할 수 있음을 논문은 인정한다. 전체적으로 본 논문은 수론적 성질을 활용한 새로운 난수 구조를 제시하고, 실험을 통해 기존 시퀀스 대비 우수한 상관 특성을 입증함으로써 암호·통신 시스템 설계에 실용적인 대안을 제공한다.